Математика Геометрия Переменная величина (пример решения)

Переменная величина (пример решения)

 Теория:

Во многих задачах приходится иметь дело с величинами, которые изменяются. Такие величины называются переменными (переменная величина).

Говорят, что одна величина изменяется прямо пропорционально другой, если при изменении одной из них вторая изменяете в том же отношении.

Знак ∝ означает: (изменяется пропорционально); например х  у есть краткое обозначение пропорции:

х : х‘ = у : у.

Здесь х‘ — значение, которое принимает х, когда у делается равным у‘.

 

Выражение х у означает, что если х увеличивается вдвое, то у также возрастает в два раза, т. е. отношение х и у всегда остается равным некоторой постоянной а.

Если величину постоянного отношения обозначить буквой k, то при х ∝ у:

                x/y = k или х = ky.

Если х изменяется пропорционально у (х ∝ у), то х равно у, умноженному на постоянную k.

Переменная величина

Что такое переменная величина

Говорят, что данная величина обратно пропорциональна другой, если при увеличении первой в некоторое число раз вторая уменьшается в такое же число раз.

Так, например, время, потребное для выполнения какой-либо работы, изменяется обратно пропорционально числу работающих.

Если х∝1/y, то величина отношения х : 1/y равна постоянной k (при всех значениях переменных),

x/(1/y) = k или xy = k/y

Переменная величина изменяется пропорционально двум другим, если она пропорциональна произведению этих последних.

В случае если х ∝ yz, причем величина отношения равна постоянной k, имеем:

x/yz = k или x = kyz.

Переменная величина прямо пропорциональна второй и обратно пропорциональна третьей переменной, если она пропорциональна произведению второй на величину, обратную третьей.

В случае, когда х ∝ у(1/z) или х ∝ (y/z) причем k есть постоянная величина отношения, имеем:

х : (y/z) = k или х = k (z/y).

Время, нужное для выкапывания канавы, прямо пропорционально ее длине и обратно пропорционально числу землекопов.

В самом деле, если длина канавы в 10 раз больше первоначальной, а число занятых рабочих увеличено в 5 раз, то для выполнения работы потребуется в 2 раза больше времени, чем раньше.

Если х пропорционально у при z постоянном и если х пропорционально z при у постоянном, х прямо пропорционально произведению переменных zy.

Точно так же, если х пропорционально каждому из трех или большего числа переменных, причем остальные имеют постоянные значения, то х пропорционально их произведению.

x yzυ.

 Пример решения:

Пример № 1. Если х обратно пропорционально у, причем х = 6 при у = 8, то какова величина х при у = 12?

Так как х ∝ (1/y), то, полагая постоянное отношением x к 1/y равным k, имеем:

ху = k.

При х = 6, у = 8, следовательно

k = 6 • 8 = 48.

Как сказано выше, kпостоянная, равная 48 при всяком значении ув том числе и при у = 12.

Подставляя значения k и у в уравнение k = хуимеем

х • 12 = 48; х = 4.

Пример № 2. Если xy и  yz, докажем, что х ∝ z.

Пусть m представляет собой величину постоянного отношения x к у, а n — величину постоянного отношения у к z.

Имеем:

х = (1)

y = nz (2)

Подставляя nz вместо у в уравнение (1), получим:

хmnz.

Но произведение mn есть величина постоянная, следовательно х z.

Топовые страницы