Теория:
Во многих задачах приходится иметь дело с величинами, которые изменяются. Такие величины называются переменными (переменная величина).
Говорят, что одна величина изменяется прямо пропорционально другой, если при изменении одной из них вторая изменяете в том же отношении.
Знак ∝ означает: ∝ (изменяется пропорционально); например х ∝ у есть краткое обозначение пропорции:
х : х‘ = у : у‘.
Здесь х‘ — значение, которое принимает х, когда у делается равным у‘.
Выражение х ∝ у означает, что если х увеличивается вдвое, то у также возрастает в два раза, т. е. отношение х и у всегда остается равным некоторой постоянной а.
Если величину постоянного отношения обозначить буквой k, то при х ∝ у:
x/y = k или х = ky.
Если х изменяется пропорционально у (х ∝ у), то х равно у, умноженному на постоянную k.
Что такое переменная величина
Говорят, что данная величина обратно пропорциональна другой, если при увеличении первой в некоторое число раз вторая уменьшается в такое же число раз.
Так, например, время, потребное для выполнения какой-либо работы, изменяется обратно пропорционально числу работающих.
Если х∝1/y, то величина отношения х : 1/y равна постоянной k (при всех значениях переменных),
x/(1/y) = k или xy = k/y
Переменная величина изменяется пропорционально двум другим, если она пропорциональна произведению этих последних.
В случае если х ∝ yz, причем величина отношения равна постоянной k, имеем:
x/yz = k или x = kyz.
Переменная величина прямо пропорциональна второй и обратно пропорциональна третьей переменной, если она пропорциональна произведению второй на величину, обратную третьей.
В случае, когда х ∝ у(1/z) или х ∝ (y/z) причем k есть постоянная величина отношения, имеем:
х : (y/z) = k или х = k (z/y).
Время, нужное для выкапывания канавы, прямо пропорционально ее длине и обратно пропорционально числу землекопов.
В самом деле, если длина канавы в 10 раз больше первоначальной, а число занятых рабочих увеличено в 5 раз, то для выполнения работы потребуется в 2 раза больше времени, чем раньше.
Если х пропорционально у при z постоянном и если х пропорционально z при у постоянном, х прямо пропорционально произведению переменных zy.
Точно так же, если х пропорционально каждому из трех или большего числа переменных, причем остальные имеют постоянные значения, то х пропорционально их произведению.
x ∝ yzυ.
Пример решения:
Пример № 1. Если х обратно пропорционально у, причем х = 6 при у = 8, то какова величина х при у = 12?
Так как х ∝ (1/y), то, полагая постоянное отношением x к 1/y равным k, имеем:
ху = k.
При х = 6, у = 8, следовательно
k = 6 • 8 = 48.
Как сказано выше, k — постоянная, равная 48 при всяком значении у, в том числе и при у = 12.
Подставляя значения k и у в уравнение k = ху, имеем
х • 12 = 48; х = 4.
Пример № 2. Если x ∝ y и y ∝ z, докажем, что х ∝ z.
Пусть m представляет собой величину постоянного отношения x к у, а n — величину постоянного отношения у к z.
Имеем:
х = mу (1)
y = nz (2)
Подставляя nz вместо у в уравнение (1), получим:
х = mnz.
Но произведение m • n есть величина постоянная, следовательно х∝ z.