ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Важнейшими в математике есть понятие числа и фигуры. Эти понятия возникли в такую далекую древность, что обозначить это время годами или даже веками невозможно. Человек шел к этим понятиям долгим и мучительным путем. Мир представлялся ему как хаос, где нет ни порядка, ни закономерностей. Чтобы стать обладателем этого мира, надо было как-то в нем разобраться. И человек стал разбираться. Конечно, делала она это подсознательно, идя путем проб и ошибок.
Мир сложный. Картину его в сознании надо упростить, явления схематизувати. Если этого не сделать, то мир просто придавит человека своей сложностью и грандиозностью.
Числа и фигуры появились именно в результате такого упрощения внешнего мира и его свойств в человеческом сознании. Есть разные предметы. Они отличаются друг от друга своими многочисленными свойствами, часто совершенно непохожими друг на друга. Можно было бы все время держать в памяти, что предметы разные и что их никак нельзя объединить друг с другом, и мы не пришли бы к понятию числа. Надо было отбросить все свойства предметов и оставить в сознании только одно их свойство, а именно: каждый предмет есть некая отдельно взятая единица. Эти предметы можно объединить, и тогда получим собрание таких единиц, с которым можно сопоставить некоторое число.
С первого взгляда кажется, что это очень просто — прийти к понятию числа. Однако нужны были сотни тысяч лет для того, чтобы это понятие, которое уже возникло, было осознанное. Оно действительно простое, понятие числа, но именно потому, что оно простое, оно и гениальное. За всю свою долгую историю человек, пожалуй, не создала еще таких гениальных понятий, каковым является понятие числа.
Умение выделять из хаоса предметов и их свойств нечто общее для них всех является самым ценным качеством человеческого мышления, тем качеством, что в конечном счете сделала человека властелином природы.
Рассказывают, что в одном психологическом опыте обезьяну научили тушить огонь на острове водой, которую она должна черпать из кадки, стоящей на берегу реки. Вот обезьяна кружкой набирает воду из бочки, садится в лодку, гребет к острову, выливает воду в очаг, потом возвращается на берег, снова зачерпывает кружкой воду, снова плывет на остров и т. д. Бедное животное не может понять, что вода в бочке и вода в реке, которой приходится плыть, для тушения огня одинакова. Обезьяна не смогла достичь такого общего понятия, как вода, и через это она бессмысленно носилась туда — сюда на лодке по реке.
Такова природа всех обобщений. Нам, оказывается, часто лучше не знать многих свойств многих предметов, а достаточно знать то, что эти предметы объединяет, и мы будем сильнее, легче освоим внешним миром.
Аналогично выработаны и понятие фигуры. Есть множество конкретных предметов, каждый из которых может быть тяжелым или легким, деревянным или каменным, прозрачным или темным,— мы оставим все это без внимания. Обратим внимание лишь на то, что каждый предмет имеет некоторую геометрическую форму, каждый из них составляет некоторую геометрическую фигуру.
Понятие фигуры — вторых чрезвычайно простое открытие, которое сделал человек. Шли годы, века, математика в своем развитии достигла небывалых высот, однако попробуйте отнять у нее такие понятия, как понятия числа и фигуры, и от нее ничего не останется.
Счет квадрато — квадратами
Интересно отметить, что человек в древности считала не только окружающими предметами, размерностью этих предметов. Если, скажем, отдельно взятое число представляло собой длину, то произведением двух чисел была площадь, а произведением трех — объем. Соответственно до этого еще древние пифагорейцы число, которое было произведением двух целых чисел, называли плоским, а число, что представляло собой произведение трех чисел— телесным.
Число было произведением другого числа самого на себя, назывался квадратом другого числа, а число, которое составляло третий степень другого числа,— его кубом. Добавлять и отнимать разрешалось лишь числа «одного измерения». Отсюда возник очень путанный и неудобный принцип однородности, о котором еще будем говорить, когда речь пойдет о Франсуа Виета.
Записывая уравнения ах2 + 2bx + с = 0, мы не задумываемся над тем, что такое a, b, с — длины, площади или объемы. А вот для математиков времен Так действовал «железный» принцип однородности: можно было добавлять только объемы к объемам, площади до площадей, длины до длин. Современник Так обязательно сделал бы все члены уравнения числами одного измерения.
Так, он должен был бы писать ах2 + 2b2х + с3 = 0. Имел бы, хоть и не писал, ибо тех обозначений для квадратов и кубов, которые применяем теперь, тогда еще в чистом виде не было. Приходилось вставлять слова. Говорили, например, что b — это плано-плоское, с — это солидо-телесное. Да и самого знака равенства не было, его ввел впоследствии англичанин Рекорд. Вієт вместо знака равенства писал целое слово «равно».
Итак, были линейные величины, были квадраты, кубы были. А как быть с другими степенями? Как, например, назвать четвертый степень какого-то числа? Соответствующих размерностей нет, ведь человек живет в трехмерном пространстве, поэтому среди окружающих вещей нельзя найти нужных интерпретаций. Но высшие степени существовали!
И вот появляется забавная терминология, похожая на ту, к которой прибегали жители островов Полинезии, однако этой терминологией пользовались греки, те самые греки, которых весь мир считает своими учителями математики. Четвертый степень числа они называли квадрато-квадратом, пятый — квадрато-кубом, шестой — кубо-кубом и т. д. Разве это не напоминает счет двойками и тройками? Такую численность применял в своей знаменитой «Арифметике» выдающийся греческий математик III ст. н. е. Диофант Александрийский.
Подібну термінологію вживали ще довгий час після Діофанта, причому іноді під відповідними термінами замість додавання (квадрато-куб = 2+3, кубо-куб = 3+3) мали на увазі множення (квадрато-куб = 2-3 = 6, кубо-куб = 3 • 3 = 9).
Альтернатива алгебры
Мы привыкли к нашей современной алгебры и даже не представляем себе, что она могла быть другой. Ведь это же так просто?
(а + b )2 = a2 + b2 + 2аb,
словами это можно прочитать очень просто: а плюс b в квадрате равно а квадрат плюс b квадрат плюс два аb.
А было время, когда так не писали и не говорили. В древности это казалось бы абсурдом, потому что такое а квадрат — площадь, объем или длина? Древние греки могли сказать только так: площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из этих отрезков, плюс удвоенная площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.
Попробуйте, не имея формулы, зная только ее последний словесное выражение, узнать, о чем идет речь. В приведенном примере, возможно, это не трудно сделать с достаточной простотой, но существовали примеры значительно сложнее!
И алгебра, которой мы пользуемся теперь, называется символической. Открытие ее, правда, не в той совершенной форме, которую мы имеем в наше время, связано с именем выдающегося французского математика XVI— XVII вв. Франсуа Виета. А и алгебра, в которой вместо символов уживались полные словесные обороты, имела название риторической.
Между ними — риторической и символической — есть еще так называемая синкопічна алгебра, от слова синкопа — срез. В этой алгебре, множество математических символов обозначали сокращениями соответствующих слов. Создание ее связывают с именем Диофанта Александрийского.
Итак, можно сказать, что алгебра в своем развитии прошла три стадии: период алгебры риторической (Евклид, IV—III ст. к н. е., Архимед, III ст. к н. е. и другие), период синкопічної (Диофант) и период символической (Франсуа Вієт и его последователи).
Не следует, однако, полагать, что указанные периоды последовательно сменяли друг друга и, скажем, после III ст. н. е. риторической алгебры уже не было. Нет, на нее опирались, например, Мухаммед аль-Хорезми в IX ст., Омар Хайям в XI веке. То же самое, разумеется, касается и синкопічної алгебры, и символической. Указанные нами периоды значительной степени накладывались один на один. Возможно, правильнее было бы говорить не о трех периодах, а о трех видах, которые возникли на пути развития науки.
Что означает слово алгебра
Этот термин связан с названием произведения выдающегося среднеазиатского математика IX века. Мухаммеда аль-Хорезми. Произведение имело название «Китаб ал-джебр аль-мукабала». Ал-джебр и ал-мукабала — названия двух алгебраических операций — перенос членов уравнения из одной части к другой и отбрасывании одинаковых слагаемых. Приблизительное значение слова алгебра — исправление. В данном случае речь идет о «исправление» уравнения.
Термин ал-мукабала в математической языке не устоялся. Обе упомянутые алгебраические операции впоследствии стали называться просто алгеброй. Ну, а далее этим термином стали обозначать науку со значительно более широким содержанием.
Что означает слово алгоритм
Оказывается, это слово связано с тем же аль-Хорезми. Выдающийся математик начинал свои произведения так: «Сказал аль-Хорезми». Перекладывая книги аль-Хорезми на латынь, в средние века соответственно писали «Diksit Algorismi», что означает: «сказал аль-Хорезми». Имя аль-Хорезми уже переиначено на Алгоризмі, впоследствии стали писать «Diksit Algoritmi».
Поскольку после этого обычно излагали содержание произведения аль-Хорезми про индийскую счет, то сперва слово «алгоритме» (алгоритм) связывали с десятичной позиционной системой счисления. Со временем под этим словом понимали уже не только то, что касается десятичной системы, но и вообще всякий регулярный процесс.
Существенной особенностью позиционной системы е наличие в нем нуля. Ноль! Сколько уже написано о нем, в частности о его возникновении. Если читатель просматривал первый том «Хрестоматии», то он должен помнить, что эту цифру, ее происхождение и необычную судьбу рассказывалось и там. И все же мы хотим привести еще одно соображение, связанное с этим интересным математическим феноменом.
Принадлежит это рассуждение современном голландском алгебраисту и историку математики Ван дер Вардену. Действительно ли индийцы изобрели ноль? До сих пор мы считали, что это именно так. А вот Ван дер Варден пришел к выводу, что изобрели ноль не индийцы, а греки за несколько веков до индейцев. Или убедительное такое утверждение? Давайте послушаем, что по этому поводу говорит сам Ван дер Варден.