Теория:
Если знаменатель геометрической прогрессии r меньше единицы то по мере увеличения n величина rn уменьшается.
В этом случае выражение можно написать так:
Если взять n достаточно большим, то величина (arn)/1 — r может быть сделана как угодно малой.
Следовательно, при большом числе членов ряда, сумма их S может отличаться от a/(1 — r) на величину, меньшую какого угодно наперед заданного малого числа.
Указанное свойство бесконечной геометрической прогрессии обозначается таким образом:
Это и есть предел суммы членов геометрической прогрессии при r меньшем единицы и бесконечно большом числе членов.
Пример решения:
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 8, 2, 1/2;
Сумму бесконечной геометрической прогрессии найдем по формуле рис. 2. (В задаче в явном виде указано, что мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией.)
a = 8, r = 2/8 = 1/4
S = (8 /(1 (1/4)) = (8 x 4)/3 = 32/3 = 10(2/3)
Ответ: 10(2/3)