Геометрическая прогрессия (пример решения)

 Теория:

Геометрическая прогрессия представляет собой ряд чисел, каждое из которых, за исключением первого, получается из предыдущего путем умножения на постоянную величину, называемую знаменателем прогрессии.

Так например, ряды:

4, 12, 36, 108      (знаменатель = 3)

4, 2, 1, -1/2.       (знаменатель = — 1/2)

а, аr, аr², аr³            (знаменатель = r)

представляют собой геометрические прогрессии.

Как найти геометрическую прогрессию

Для нахождения n-го члена такого ряда по известному первому члену и знаменателю, рассмотрим прогрессию:

а, аr, аr², ar³, аr⁴ и т. д.

и заметим, что для получения указанного п-го члена придется умножить а на r^n-1

Таким образом последний член прогрессии, который мы в дальнейшим будем обозначать буквой l, есть аr^n-1.

 Пример решения геометрической прогрессии:

Пример № 1.

Сумма геометрической прогрессии

Для того, чтобы найти сумму n первых, поступаем так:

Напишем ряд:

S = a + ar + ar² + ar³ + . . . + ar^n-1

Умножим обе части равенства на r, тогда:

rS = ar + ar² + ar³ + . . . + arⁿ.

Вычтем (1) из (2):

S (r — 1) = аrⁿ — а

или

S = (arⁿ — a)/(r — 1) = a ((rⁿ — 1)/(r — 1))

Пример № 2.

В большинство задач на геометрические прогрессии входят пять величин:

а, r, n, l и S.

Если три из них заданы, то остальные две можно определить, решая систему уравнений:

l = ar^{n — 1}

S = a ((rⁿ — 1)/(r — 1))