Теория:
Закон сложных процентов. Пусть Р — вложенный капитал; r — размер процентов.
В конце первого года прибыль равна Рr, а самый капитал обратится в:
Р + Рr = Р(1 + r).
Приращение капитала в конце второго года будет равно Р(1 + r)r, а капитал будет:
(P + rP) + (1 + r)Pr
или
Р(1 + r) + Рr(1 + r) = (Р + Рr)(1 + r) = Р(1 + r) (1 + r) = Р(1 + r)2.
Размеры капитала через n лет:
А = Р(1 + r)n.
Если капитал отдан по сложным процентам, причем приращение его равно 5% в год, то через n лет этот капитал будет равен:
А = P(1 + r)n = P(1,05)n.
Откладывая по оси абсцисс годы, а по оси ординат — размеры капитала, получим кривую, являющуюся графиком показательной функции.
lg101,05 = 0,021
lge 1,05 = 2,302 • 0,021 = 0,048,
откуда
е0,048 = 1,05.
Таким образом функция будет иметь вид:
A = Pe0,048n.
Это будет частный случай уравнения:
y = aekx
Характер возрастания показательной функции
Закон сложных процентов выражает ряд важнейших явлений природы.
Как было замечено ранее, наклон касательной к кривой:
у = аеbх
(или скорость возрастания показательной функции) в любой ее точке пропорционален ординатам или значениям функции.
Таким образом, если какая-нибудь функция возрастает пропорционально себе самой, то имеет место изменение по закону сложных процентов или показательному.
Говорят, что изменение двух количеств происходит по показательному закону, если одно из них изменяется в геометрической прогрессии, в то время как другое — в арифметической.
Пример № 1 смотреть ниже.
Выражение:
у = аеbх есть общая форма показательных уравнений.
Модуль убывания или логарифмический декремент
В очень большом числе явлений природы убывающая показательная функция встречается чаще, чем возрастающая, так что соответствующее уравнение имеет вид:
у = ae-bx,
где (-b) существенно отрицательная величина.
Величина (-b) называется модулем убывания или логарифмическим декрементом функции, соответствующим возрастанию переменной х на единицу.
Логарифмический декремент показан для ряда натуральных и обыкновенных логарифмов, как они идут слева от единицы.
Приближенные логарифмические формулы
Если х — малая величина, то:
lgb (1 ± x) = ± х — (1/2)x2.
Пример:
lgb (1,0025) = 0,0025 — (0.00000625/2)
Пример решения:
Пример № 1 представляет трение каната, закрученного около вала: в то время как число оборотов возрастает в арифметической прогрессии, трение возрастает в прогрессии геометрической.