Теория:
Уравнение, справедливое для частных значений входящих в него переменных, остается справедливым и после того, как над ним произвели любое из следующих действий:
- Прибавление любого количества к обеим частям его.
- Вычитание любого количестве на обеих частей его.
Перенесение любого члена равенства из одной части его в другую (причем необходимо у переносимого члена переменить знак на обратный).
Умножение или деление обеих частей его на любое количество, неравное 0 и не содержащее неизвестных.
Изменение знаков всех членов на обратные.
Логарифмирование обеих частей уравнения (при условии, что обе части положительны).
Кроме того, если найти sin, cos, tg и т. д. для обеих частей уравнения, то указанные тригонометрические величины, взятые для левой и правой частей уравнения, будут равны друг другу.
Необходимо помнить, что возвышение обеих частей уравнения в некоторую степень вносит новые (посторонние) корни, не удовлетворяющие, вообще говоря, первоначальному уравнению.
Так, например, уравнение х = — 2 имеет только один корень, а уравнение х2 = 4 имеет два корня, а именно х = + 2 и х = — 2.
Целое уравнение
Уравнение, не содержащее дроби с неизвестными в знаменателе, называется целым уравнением.
Таким образом уравнения:
3х — y = 15,
((3x + 2y)/5) + ((5x + 3y)/3) = x + 1
оба являются целыми уравнениями, так как они не содержат неизвестных в знаменателях.
Если обе части уравнения умножить на выражение, содержащее неизвестное, то получившееся уравнение имеет все корни данного уравнения.
А также и корни того уравнения, которое образуется, если взятый множитель приравнять нулю. Введенные в наше уравнение таким образом корни называются посторонними корнями.
Если обе части целого уравнения разделить на целый общий их множитель, содержащий неизвестное.
То получившееся при атом уравнение содержит все корни данного за исключением тех, которые имеет уравнение, образующееся при приравнивании нулю сократившегося общего множителя.
Для определения всех корней данного уравнения, надо кроме корней, вычисленных из уравнения, получившегося после сокращения на указанный общий множитель, учесть еще и корни уравнения, полученного при приравнивании нулю указанного общего множителя.
Практика:
Пример решения уравнений
Составление уравнений по условиям задачи. Обозначаем неизвестное количество через х и из условий, даваемых задачей, найдем равные между собой выражения, образующие уравнение.
Одно какое-либо выражение можно сделать ранний другому, прибавляя к первому или отнимая от него некоторую величину, или же умножая или деля его на некоторое число.
Применяя указанные приемы для получения равных между собою выражений, сможем написать уравнение.
Многие законы математики, механики и физики часто могут быть изображены равенствами, так например:
Длина x ширина = площадь прямоугольника.
Скорость x время = пройденный путь.
Число предметов x цена каждого = общая стоимость.
Число лиц x количество долларов, полученных от каждого = число полученных долларов.
Квадрат гипотенузы = сумма квадратов катетов.
Задача может давать равенство и непосредственно.
В этом случае, сообразуясь с условиями задачи, можем написать искомое равенство.
Для пояснения сказанного рассмотрим следующую задачу.
Задача №1
Через 15 лет А будет в 3 раза старше, чем он был 5 лет тому назад. Определить его возраст в настоящее время.
Составляем равенство:
Если умножить его возраст 5 лет тому назад на 3, произведение будет равно его возрасту через 15 лет.
Это и дает нам искомое равенство или уравнение:
Возраст через 15 лет = 3 • (возраст 5 лет тому назад).
Пусть х = возрасту в данное время (который требуется определить).
Тогда х + 15 = его возраст через 15 лет,
х — 5 = его возраст 5 лет тому назад.
Пишем уравнение:
х + 15 = 3(х — 5) = 3х — 15.
2х = 30, х = 15.
Решение задач, содержащих два неизвестных
В этом случае необходимо иметь два условия. Одно неизвестное обыкновенно обозначают буквой х, а другое — буквой у.
Однако употреблять для обозначения неизвестных два символа не всегда обязательно, ибо второе неизвестное может быть часто выражено через первое.
В приводимых ниже задачах рассмотрены случаи, когда проще употреблять только одну букву.
Пример
Одно число больше другого на 8, сумма же их равна 14.
Найти числа.
Условие, по которому можно составить равенство, непосредственно указано в задаче.
Сумма чисел = 14.
Другое условие состоит в том, что одно число больше другого на 8. Обозначим меньшее число через х.
Тогда:
х + 8 = большее число.
Составим уравнение:
х + (х + 8) = 14.
2x + 8 = 14, 2х = 6.
х = 3 = меньшее число,
х + 8 = 11 = большее число.
Если задача содержит три неизвестных
То для решения ее должны быть даны три условия.
Пример:
За вагонетки, стрелки и переносные рельсы, которые стоят соответственно по 90, 35 и 15 у.е. каждая, было заплачено 1185 у.е.
Число стрелок больше числа вагонеток на 4, а число рельс вдвое больше числа вагонеток и стрелок, взятых вместе. Сколько каждых из этих предметов куплено?
Мы составляем искомое равенство из первого условия:
Стоимость вагонеток + стоимость стрелок + стоимость рельс = 1185 у.е.
Обозначим число вагонеток через х.
Тогда х + 4 , число стрелок (второе условие).
2 [х + (x + 4)] число рельс (третье условие).
Стоимость вагонеток: 90х у.е.
Стоимость стрелок: 35 (х + 4) у.е.
Стоимость рельс: 15(4x + 8) у.е.
Из предыдущего имеем уравнение:
90х + 35 (х + 4) +15 (4х + 8) = 1185, откуда (n0 130): .
Число вагонеток = х = 5.
Число стрелок = х + 4 = 9.
Число рельс = 4х + 8 = 28.