Математика Диофанта

МАТЕМАТИК ДИОФАНТ

На IV века приходится деятельность Диофанта, которая ярко выделяется на общем фоне научного застоя как проявление высокого и оригинального таланта. Трудно назвать предшественников, подготовивших новое направление греческой математики, который сказался на трудах Диофанта; не имел он и последователей, потому что вслед за его время (царствование Юлиана «Отступника» с середины III ст. н. е.) наступает окончательный упадок язычества, а с ним и всей античной науки.

Хотя отсутствие в более поздних авторов ссылок на предшественников Диофанта можно объяснить ранней потерей их произведений, и, следовательно, считать Диофанта лишь одним из творцов эллинской алгебры того времени, все же, если учесть культурные условия эпохи, приходится искать происхождения новых приемов на Дальнем Востоке, для связей с которым Александрия была таким удобным международным пунктом.

Введение сексагезимальних дробей вавилонян, восточный характер новых философских и религиозных учений, посольства из Индии при дворах римских императоров, указания в остатках древнеиндийской письменности на отношения с греками, высокое развитие торговли Александрии с Индией в II и III ст. н. е.— все это делает очень вероятным предположение о влиянии на приемы Диофанта осведомленности с алгеброй индейцев.

Так или иначе, но математика Диофанта очень отличается от всего, что мы видели у греков раньше; его «Арифметика» больше напоминает те выложи индийской алгебры конца Vct., которые дошли до нас, чем в арифметике Евклид или Никомаха. Арифметические исследования свойств чисел интересуют Диофанта очень мало; в этом отношении он не делает ни шага вперед, пользуясь тем самим понятием исключительно рационального положительного числа, которое равно и признавалось за число эллинской арифметикой. Но это старое понятие становится в его руках объектом совершенно новых, чисто алгебраических операций.

Диофант дает решение уравнений, совершенно свободное от геометрических построений, геометрический анализ превращается в алгебраическое. У Диофанта же впервые видим алгебраическую символику, хоть не последовательно проводимую; она составляет простое сокращение речи со всеми грамматическими изменениями слов.

«Арифметика» математика Диофанта, из 13 книг которой до нас дошло 6 (очевидно, первых), причем с большими пробелами, представляет собой не теоретические выкладки, а ряд систематически расположенных задач, в которых представлены теоретические объяснения. Первая книга содержит главным образом определены з а д а ч и, которые выражаются уравнениями первой или второй степени, остальные книг дает преимущественно ряд неопределенных задач возрастающей сложности на уравнения второй степени.

Правило решения уравнений изложен так: «Когда задача сведена к уравнению, к обеих частей которого входят равные степени неизвестного с разными коэффициентами,— надо от равных вычитать поровну, пока один член ( в латинских переводчиков species) не будет равняться одному члену. Если в одной или обеих частей уравнения входят члены, которые отнимаются, то надо добавлять их в обеих частей, пока все члены не станут слагаемыми, и потом снова отнимать от обеих частей, пока в них не останется по одному члену». Применяя это правило к решению какого-либо уравнения.

Например,

3х² — х — 7 = 4х² + 12 — х² — 10 х,

мы написали бы в современном обозначении так:

3х² + x — 5 = х² + х + 1:

3х² + х — 5 = х² + х + 1,

3х² + х = х² + х + 6, 2x² = 6.

Правило одинаково применяется как к уравнениям первой степени, так и неполных квадратных, ибо и в том и во втором случае после выполнения указанных действий в обеих частях уравнения получаем по одному члену.

«В заключение,— продолжает Диофант,— покажу я, как решают задачи, когда, наконец, достаем два члена, равные одному». Это обещание касалось, очевидно, полных квадратных уравнений, но для нас она осталась невыполненной, потому что соответствующая часть «Арифметики» утеряна.

Сведение уравнений к общему виду осуществлялось, как видно из указаний Диофанта в одной из задач книги VI, которая приводит к уравнению

(1 : х²) + 196х² — 336х — (24:х) + 172 = 196х² + (1 :Х²),

по правилу: «добавь к обеим частей то, что вычитается; отними подобные с подобным и умножь все на х; тогда будешь 336х² + 24 = 172х».

Задачи на полные квадратные уравнения, которые встречаются в других разделах «Арифметики», позволяют сделать вывод, что Диофант владел общим приемом их решения, но знал только про один корень квадратного уравнения, причем всегда рациональный и положительный. Так, задача «найти два числа, в которых сумма и произведение равны данным числам», только тогда имеет решение, когда «квадрат половины суммы искомых чисел превышает их произведение на квадратное число». Действительно, если данную сумму обозначить через s, а произведение через р, то будут искомые

(s : 2) + √((s:2) —p) и (s : 2) — √((s : 2) — p)

они будут выражаться рациональными числами (а их только и знал Диофант), если под знаком корня будет точный квадрат, то есть

(1:4)s ²— р = — а². 

Уравнение, которое мы привели выше, как, например, 2х² — 6, для Диофанта не имеет решения, потому что х = √3 не есть число (рациональное). Задачи «Арифметики» всегда приводятся в общем виде, но, выражая их уравнением, Диофант подбирает такие отдельные значения данных чисел, чтобы иметь рациональный положительный развязок: всякий другой, иррациональный, отрицательный, воображаемый, в глазах автора не существует.

«Арифметика» не дает решений кубических уравнений; единую задачу, которая приводит к ним: «Найти такое кубическое число, которое было бы на 2 больше квадратного числа»,— решена в обход кубического уравнения.

Обозначив кубическое число за (х — 1)³, а квадратное — за (х + 1)², Диофант получает уравнение

(х — 1)³ = (х + 1)² + 2

или

х³ — 3х²+ 3x = 1 = х² + 2х+ 3.

Дальнейшие выкладки не приводятся, но обычный прием Диофанта легко сводит это кубическое уравнение к уравнению первой степени:

х³ + х = 4x² + 4,

х(х²+ 1) = 4(х²+ 1), х = 4.

Отсюда: кубическое число 3³ = 27, а квадратное 5² = 25.

Отбор обозначений, с помощью которых эту задачу выражено уравнением, является примером характерной особенности алгебраического анализа Диофанта.

В заключение укажем на характерную черту Диофанта, что отличает его от всего ряда крупных греческих геометров. Никаких доводок правил «Арифметики» он не дает; они оправдываются лишь тем, что их применение дает числа, которые отвечают требованиям задачи.