Слова айда и гайдамаки
Слово айда пришло к нам из татарского языка, где оно является формой повелительного наклонения („иди, ну») от глагола айдамак „погонять, гонять скотину на пастбище». Как можно видеть, первоначально это междометие применялось при „обращении» к скоту (ср. аналогичное по исходной сфере употребления — сначала лишь к лошади В слово ну).
Что касается слова гайдамак, то оно попало в нашу речь из украинского языка, в котором появилось из родственного татарскому языку турецкого (чем и объясняется начальное г). В последнем у слова гайдамак значение „разбойник, грабитель» развилось из значения „погонщик скота». Так что слово айда чаще всего вначале было в ходу у гайдамаков.