Кинетическая и потенциальная энергия

ЧТО ТАКОЕ КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

Что такое потенциальная энергия — это энергия, определяемая взаимным расположением взаимодействующих тел или частей одного и того же упругого тела, называется потенциальной энергией.

В механике рассматривают два вида энергии — потенциальную и кинетическую. Потенциальная энергия —это энергия положения.

Примером потенциальной энергии могут служить: энергия поднятой гири в маятниковых часах, привязанного к нити тела, отклоненного от положения равновесия, воды у плотины гидростанции, а также энергия сжатой или растянутой пружины.

Поднимая тело равномерно на высоту Н, преодолеваем силу сопротивления, равную весу тела Р, и производим работу А — РН.

Мерой потенциальной энергии будет выполненная работа, поэтому

W_n= РН

где W_n — потенциальная энергия. Потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, равна работе, затраченной на перемещение тела, с постоянной скоростью на эту высоту силой, равной весу тела.

Определение потенциальной энергии

Определим потенциальную энергию упруго-деформированной пружины (сжатой или растянутой). Сила, растягивающая пружину, совершает работу и увеличивает потенциальную энергию пружины. При этом, если растягивать пружину, то работа внешней силы будет равна увеличению потенциальной энергии пружины.

Если пружина начнет сжиматься, то она совершит такую же работу, какую совершила внешняя сила при растягивании пружины. Как видим, работа при растягивании пружины равна А = (kx²)/2 , поэтому потенциальная энергия пружины, растянутой на величину х, будет равна

W_n = (kx²)/2 

Эта энергия связана с наличием упругих деформаций в материале пружины. В этом случае потенциальная энергия представляет собой энергию упругой деформации.

Рассмотрим потенциальную энергию, обусловленную взаимным тяготением Земли и какого-либо тела массой т. Тело, поднятое на высоту Н над Землей, обладает потенциальной энергией

W_n = mgH.

На первый взгляд кажется, что потенциальная энергия возрастает с увеличением высоты H, но нельзя забывать, что с увеличением высоты уменьшается ускорение свободного падения. Так как

g = γ(M/(R + H)²)

где М —масса Земли, R —радиус Земли. Поэтому возрастание потенциальной энергии с увеличением Я справедливо только при высотах, много меньших радиуса Земли (H « R). При высотах, соизмеримых с радиусом Земли и больше, ускорение свободного падения уменьшается быстрее, чем растет высота H, а потенциальная энергия убывает.

Предположим, что в результате взаимного притяжения два тела немного сблизились на расстояние r₁—r₂, где r₁ —расстояние между телами до их сближения, r₂ —после сближения. При этом работа сближения, совершенная под действием силы тяготения F, будет равна

A=F(r₁—r₂).

Но сила F = γ (m₁m₂/r₂) — величина переменная, которая убывает обратно пропорционально квадрату расстояния (F ~ 1/r₂). Поэтому, поскольку величина r изменяется, значение силы F следует взять в какой-то точке, средней между r₁ и r₂, то есть в точке r_ср

F = γ((m₁m₂)/r²_ср)

тогда

A = γ((m₁m₂)/r²_ср)(r₁ — r₂)

Но r₁ и r₂ можно выбрать мало отличающимися друг от друга, тогда можно считать, что r²_ср = r₁r₂ и

A = γ((m₁m₂)/r₁r₂)(r₁ — r₂), A = γ((m₁m₂)r₂) — γ((m₁m₂)r₁)

Эта работа произведена за счет изменения энергии тяготения, то есть

A = W₁ — W₂

Здесь W₁—начальное, W₂—конечное значения потенциальной энергии тяготения. Сопоставляя

A = γ((m₁m₂)r₂) — γ((m₁m₂)r₁) и A = W₁ — W₂ .

находим конечное значение потенциальной энергии

Из этой формулы следует, что при очень больших значениях г потенциальная энергия W —0, поскольку при таких расстояниях притяжение ничтожно мало, то есть практически равно нулю. При сближении тел потенциальная энергия тел уменьшается за счет выполнения работы. Но какая-либо величина может уменьшаться от нуля только в отрицательную сторону, поэтому в формуле для W₂ стоит знак «минус».

Таким образом, при r →∞ потенциальная энергия тяготения W →0, а по мере сближения она становится меньше 0, т. е. отрицательной. На поверхности Земли:

W₀ = — γ(Mт/R)

где R — радиус Земли, М — масса Земли. На высоте Н

WH = — γ(Mт/R)+ mgH

Здесь при Н « R относительно поверхности Земли получим

W_п = mgH

тo есть отбрасываем постоянный член — С = — γ(Mт/R), условно считая его равным нулю.

Обычно нас интересует лишь разность энергии: так ею измеряется произведенная работа.

Кинетическая энергия

Что такое кинетическая энергия — это энергия, связанная со скоростью движущегося тела, называется кинетической энергией. Обычно кинетическую энергию обозначают буквой W_K. Кинетической энергией обладают все движущиеся тела.

Пусть на покоящееся тело действует постоянная по величине и направлению сила, тогда скорость, приобретаемая телом, будет возрастать. При этом сила, приложенная к телу, будет совершать положительную работу, так как перемещение тела совпадает по направлению с действующей силой. Если же на тело, обладающее начальной скоростью, начинает действовать сила, направленная противоположно скорости, то скорость тела уменьшается и тело совершает работу против этой силы.

Иначе говоря, сила совершает отрицательную работу, так как перемещение тела не совпадает с действующей силой. Тело будет способно совершать работу до тех пор, пока скорость его не станет равной 0. Таким образом, в результате работы внешней силы тело приобретает определенную скорость, а вместе с тем и определенный «запас работы», которую оно может совершить, теряя скорость. Этот «запас работы», которую тело может совершить, обладая некоторой скоростью, и есть кинетическая энергия тела.

Кинетическая энергия формула

Чтобы определить кинетическую энергию тела, необходимо подсчитать, какую работу может совершить тело, обладающее начальной скоростью υ₀. Эта работа равна

А = Fs

Силу F определяем по второму закону Ньютона F — та. Поскольку на тело действует постоянная сила, то движение тела будет равноускоренным, тогда

υ² — υ²₀ = 2as

где υ —скорость тела в какой-то момент времени после начала действия силы. Отсюда s = (υ² — υ²₀)/2а. Подставляя значения F и s в выражение работы, получим

А = Fs = ma(υ² — υ²₀)/2а = (mυ²/2) — (mυ²₀/2)

Но работа действующей силы на пути s равна изменению кинетической энергии тела, поэтому

A = ∆W_K, или ∆W_K = (mυ²/2) — (mυ²₀/2)

Если υ₀ = 0, то

Wк = mυ²/2

Рассмотрим полную энергию свободно падающего тела. Пусть тело массой m поднято на высоту Н (рис. 2), Если тело отпустить, то оно будет свободно падать (сопротивление воздуха не учитываем). По мере приближения к поверхности Земли потенциальная энергия тела будет уменьшаться, кинетическая с увеличением скорости — возрастать. Сумму потенциальной и кинетической энергии называют полной энергией тела.

Подсчитаем полную энергию в точках А, В и С.В точке A υ = 0, поэтому кинетическая энергия W_K равна нулю, а потенциальная энергия

W_пA=mgH.

Тогда

W_полн = W_пA + W_кA = mgH + 0 = mgH.

В точке С тело обладает и потенциальной, и кинетической энергией; оба вида энергии не равны нулю

W_полн = W_пС + W_кС =mg(H — h) + ((mυ²_c)/2)

где υc —скорость тела, приобретенная при свободном

падении от точки А до точки С, υ²_c = 2 gh. Подставляя это значение в предыдущее выражение, получим

W_полн = mgH — mgh + mgh = mgH.

Энергия (mgh) со знаком минус означает убыль потенциальной энергии, а энергия (mgh) со знаком плюс означает прирост кинетической энергии. В точке В потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая в момент падения тела на землю

Wк = (mυ²_в)/2

где

υ²_в = 2gH,

Тогда полная энергия свободно -падающего тела

W_полн = W_пB + W_KB = 0 + ((mυ²_в)/2) = (m2gH)/2 = mgH.

При свободном падении полная энергия падающего тела остается неизменной. При всех чисто механических процессах, когда не учитывается трение, энергия не исчезает, она только переходит из одного вида в другой

W_п⇄W_K, W_полн= const.

Следовательно, полная энергия изолированной системы есть величина постоянная. Это и есть закон сохранения механической энергии.

Если тело падает в среде, создающей сопротивление движению, то потенциальная энергия не полностью переходит в кинетическую, а часть ее преобразуется в тепловую энергию. Мерой этого превращения является работа. Тогда

W_п → W_к + А_с, а А_с = W_п — W_к,

где А_с —работа против сил сопротивления среды.

Что такое удар или соударение

Это любое кратковременное взаимодействие тел называется ударом.

Когда тело брошено вертикально вверх, кинетическая энергия больше потенциальной на величину работы, которая затрачивается на преодоление сил сопротивления среды

W_к → W_п + А_с, а А_с = W_к — W_п,

В повседневной жизни в технике приходится встречаться с явлением соударения тел, когда тела при взаимодействии непосредственно касаются друг друга.

В физике соударение, или удар, понимают в более широком смысле. При этом не обязательно, чтобы тела касались друг друга. Так, например, говорят о соударении молекул, хотя они взаимодействуют, находясь на достаточно большом расстоянии друг от друга (по сравнению с размерами молекул), и это взаимодействие осуществляется посредством электрического поля.

Удар называют центральным, если скорости соударяющихся тел направлены по прямой, соединяющей центры тяжести этих тел. При ударе в зависимости от свойств вещества, из которого состоят тела (медь, свинец, сталь, слоновая кость), определенная часть энергии выделяется в виде теплоты. Тело при этом испытывает деформацию.

Особым случаем удара является идеализированный случай абсолютно упругого соударения тел, при котором энергия движения не переходит в тепловую энергию. Тогда сохраняется вся механическая энергия системы. Другим идеализированным случаем удара является абсолютно неупругий удар. При этом ударе тела испытывают пластическую деформацию, и часть энергии движения переходит в тепловую энергию.

При абсолютно упругом ударе соблюдается закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии

m₁υ₁ + m₂υ₂ = m_1u1 + m₂u₂,

где m₁ и m₂ —массы соударяющихся тел, υ₁ и υ₂ —скорости этих тел до удара, а u₁ и u₂ —их скорости после удара.

При абсолютно неупругом ударе тела после взаимодействия движутся с одинаковой скоростью (как одно целое). Сумма кинетической энергии до удара больше суммы кинетической энергии этих тел после удара на величину работы, которая идет на деформацию тел и выделяется в виде тепла.

Таким образом, при абсолютно неупругом ударе соблюдается закон сохранения импульса тела, а закон сохранения кинетической энергии не соблюдается. Законы сохранения энергии и сохранения импульса для абсолютно неупругого удара можно записать следующим образом:

((m₁υ²₁)/2) + ((m₂υ²₂)/2) = (((m₁ + m₂)u²)/2)+ А,

где А — работа, совершаемая при деформации тел.

m₁υ₁ + m₂υ₂ = (m₁ + m₂) и, где u — общая скорость движения тел после удара.

Пример решения задачи

1. Две тележки расталкиваются взрывом порохового заряда, помещенного между ними. Тележка массой 100 г проходит путь 1,8 м и останавливается. Какой путь пройдет вторая тележка массой 300 г? Коэффициент трения между землей и тележками одинаков и равен k.

Дано m₁ = 100 г = 0,1 кг, s₁ = 1,8 м, m₂ = 300 г = 0,3 кг.

s₂ — ?

Решение

Для решения задачи используем закон сохранения импульса. До взрыва сумма импульсов тележек равнялась нулю, после взрыва 

т₁υ₁ + т₂υ₂ , тогда т₁υ₁ + т₂υ₂ = 0,

отсюда

υ₁/υ₁ = т₂/m₁,

После взрыва первая и вторая тележки получили запас кинетической энергии. Кинетическая энергия пошла на работу по преодолению трения, тогда закон сохранения энергии можно записать для первой тележки

т₁υ²₁ = F’_трs₁ = km₁gs₁

для второй тележки

т₂υ²₂ = F»_трs₂ = km₂gs₂

Поделив эти два равенства, получим

υ²₁/υ²₂ = s₁/s₂

Решая совместно (1) и (2), получим

m²₂/m²₁ = s₁/s₂

Отсюда

s₂ = m²₁s₁/m²₂, s₂ = (0,01 кг • 1,8 м)/0,09 кг² = 0,2 м.