Закон сохранения импульса (Пример)

ЧТО ТАКОЕ ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Это сумма импульсов в изолированной системе, которые создают все тела входящую в эту систему, как написано ниже из примера эта величина постоянная.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из n тел. По второму закону Ньютона каждое тело, входящее в систему, взаимодействует со всеми телами, кроме самого себя. Так, первое тело взаимодействует со вторым, третьим и т. д. Для этого взаимодействия второй закон можно записать так:

∆(m₁υ₁)/∆t = F₁₂ + F₁₃ + … + F_1n

где F₁₂ —сила взаимодействия первого тела со вторым, F₁₃ —сила взаимодействия первого тела с третьим и т. д.

Закон сохранения импульса примеры

Аналогично запишем второй закон Ньютона для взаимодействия второго тела со всеми другими телами, входящими в систему, затем третьего тела со всеми другими и т. д. 

Тогда получим:

∆(m₂υ₂)/∆t = F₂₁ + F₂₃ + … + F_2n

∆(m₃υ₃)/∆t = F₃₁ + F₃₂ + … + F_3n

∆(m_nυ_n)/∆t = F_n1 + F_n2 + … + F_{n(n — 1)}

где F₂₁, F₂₃, …, F_2n и т.. д. — силы взаимодействия второго тела с первым, второго тела с третьим и т. д.

Полученные равенства сложим почленно, предварительно сгруппировав силы с противоположными индексами

(∆(m₁υ₁)/∆t) + (∆(m₂υ₂)/∆t) + … + (∆(m_nυ_n)/∆t) = (F₁₂ + F₂₁) + (F₁₃ + F₃₁) + … + (F_1n + F_n1)

где индекс i показывает номер слагаемого, an — число слагаемых, Но по третьему закону Ньютона:

F₁₂= — F₂₁; F₁₃ = F₃₁ и т. д.

Тогда

∆t ≠ 0, следовательно, можно записать, что

Не трудно видеть, что

Пусть скорости частиц υ₁, υ₂, υ₃, …,υ_n изменились и стали υ₁‘, υ₂‘, υ₃‘, …, υ_n тогда, с одной стороны,

с другой стороны,

Равенство (выше) получим, раскрыв скобки в выражении (перед ним) и сгруппировав скорости после действия силы (со штрихом) и скорости до действия силы (без штриха).

Известно, что если изменение какой-либо величины равно нулю, то эта величина есть постоянная, поэтому

Вывод чему равна сумма импульсов : сумма импульсов тел изолированной системы есть величина постоянная.

В результате взаимодействия импульс замкнутой системы тел не изменяется. Из (1), (2), (3) следует, что равнодействующая всех сил, действующих внутри замкнутой системы, равна нулю и осуществить движение системы в целом эти силы не могут.

Этот закон более элементарно можно вывести так. Имеем взаимодействие двух тел массами m₁ и m₂, движущихся до взаимодействия со скоростями υ₁ и υ₂. Пусть после взаимодействия их скорости станут u₁ и u₂. Время взаимодействия t. Во время взаимодействия тел возникают силы, равные по величине и противоположные по направлению (по третьему закону):

F₁ = — F₂

Согласно второму закону,

F₁ = m₁а₁ но а₁ = (u₁ — υ₁)/ t.

F₂ = m₂a₂, но а₂ = (u₂ — υ₂)/ t.

Исходя из этого, можно записать

m₁((u₁ — υ₁)/ t) = m₂((u₂ — υ₂)/ t).

Закон сохранения импульса формула

После преобразования получим

m₁υ₁ + m₂υ₂ = m₁u₁ + m₂u₂

Чему равна она равна : сумма импульсов тел до взаимодействия равна сумме импульсов тел после взаимодействия.

Примером применения закона импульса в технике является работа реактивных двигателей. Если внутри ракеты происходит сгорание горючего вещества, то образовавшиеся газы с большой скоростью устремляются наружу, унося с собой какой-то импульс силы.

В то же время сама ракета движется в противоположную сторону с такой скоростью, которая соответствует сумме импульсов ракеты и газа после начала движения ракеты, равной сумме импульсов тел этой же системы до начала движения ракеты.