Действительные числа

Содержание страницы

Действительные числа это

Все вместе — числа целые, рациональные, иррациональные (положительные и отрицательные) составляют множество действительных чисел. К ним следует добавить еще и ноль. А поскольку целое число является частным случаем рационального, то можно говорить, что множество действительных чисел представляет числа рациональные, иррациональные (положительные и отрицательные) и нуль.

Изначально человек пришел к понятию целого положительного числа, затем — к понятию рационального числа. Последнее является отношением двух целых чисел. Дальше оказалось, что не всякое число может быть отношением целых чисел. Возникли числа иррациональные. До таких чисел пришли еще пифагорейцы в VI вв. к н. е. После этого появились числа отрицательные.

Пифагорейцы столкнулись с иррациональными числами, заметив несоизмеримость стороны квадрата с его диагональю. Но это означает лишь тот факт, что число √2— иррациональное. Есть еще иррациональные числа? Сколько их?

Разложение рационального числа

Разложим рациональное число p/q (р и q — целые числа) в десятичную дробь, то, начиная с некоторого десятичного знака, мы получим повторение некоторого периода

p/g = 0,a₁ … a_kp₁ … p_sp₁ … p_sp₁ … (1)

(Мы считаем, что р < q. Все числа a₁,.a_k, г₁,…, г_{, s}—целые числа, которые приобретают значений 0, 1,…, 9). Это происходит потому, что, раскладывая число в десятичную дробь, мы получаем остатка, которые не превышают q. Очевидно, начиная с некоторого момента, эти остатка будут повторяться, но тогда будут повторяться и числа р₁,…, р_sпериода.

Наоборот, всякий дробь вида (1) представляет собой некоторое рациональное число.

Если раскладывать в десятичная дробь √2 то получим, очевидно, непериодический дробь. Это наталкивает нас на мысль рассмотреть вообще все числа, которые определяются непериодичними десятичными дробями:

а = а₀,а₁а₂а₃ … (2)

Эти числа мы назовем иррациональными. Но на каком основании мы говорим, что дробь (2) всегда означает некоторое число? А на том, что когда мы возьмем бесконечную последовательность рациональных чисел то можно легко доказать, что у нее существует некоторая граница. Вот этой границы мы и даем название иррационального числа.

Мы видим, что иррациональное число является пределом последовательности рациональных чисел (3) при условии, что последовательность десятичных знаков а₁, а₂,… не периодическая. Иррациональные числа можно обозначить несколько иначе. Возьмем бесконечную последовательность пар рациональных чисел

(a₁b₁), (а₂b₂), …,(а_nb_n), …

причем

a₁≤ a₂ ≤ … ≤ a_n ≤…, b₁ ≥ b₂ ≥ … ≥ b_n ≥ …

и все а_и меньше всех b_i. Пусть, далее, последовательность b₁ — а₁, b₂ — сходится к нулю. Тогда обе последовательности a₁,a₂, … и b₁,b₂… совпадают в одной и той же границы. Эта граница может быть рациональным числом, а может и не быть им. В последнем случае такая граница называется иррациональным числом. Так обозначил иррациональные числа выдающийся немецкий математик Георг Кантор.

Пользуясь таким определением, можно доказать те свойства иррациональных чисел, которые касаются их сложения, умножения и т. д. Поскольку границами последовательностей рациональных чисел могут быть числа рациональные, иррациональные и ноль, то таким способом мы получаем все множество действительных чисел и соответственно этому — теорию действительного числа за Кантором.

Теория действительного числа Дедекинда

Кроме этой теории, существует еще теория действительного числа, которое ввел другой немецкий математик — Дедекинд. Его теория основана на рассмотрении так называемых сечений в множестве рациональных чисел. Сечением в множестве рациональных чисел называют такое разбиение этого множества на два класса, что:

Каждый класс не пуст,
Каждое число попадает в один и только один класс,
Каждое число первого класса меньше любого числа второго класса.

Если в левом классе есть крайний правый элемент, то имеют сечение первого рода. Если во втором классе является крайний левый элемент, то сечение называют сечением второго рода. Очевидно, сечение первого рода не может быть одновременно и сечением второго рода (Почему?). Далее, крайний правый элемент левого класса или крайний левый элемент правого класса всегда есть число рациональное.

Может быть сечение третьего рода, когда в левом классе нет крайнего правого элемента, а в правом — крайнего левого. В этом случае говорят, что сечением определяется иррациональное число. А вместе сечение первого, второго и третьего рода определяют всю множество действительных чисел.

Воспользовавшись Канторивським или Дедекиндивським определением действующего числа, можно было бы показать, что множество таких чисел полем (определение поля можно найти в очерках о Галуа, что идти дальше).

Статья на тему Действительные числа

Действительные числа