Виет Франсуа (Математика)

ВИЕТ И МАТЕМАТИКА

Единую, последовательно проведенную систему алгебраических символов первым дал Виет.

Появление буквенного алгебраического исчисления была одной из сторон более общего и глубокого явления в истории математики — возникновения алгебры как общей науки об алгебраических уравнений. Произведения и взгляды Так хорошо передают этот переломный момент.

Биография Франсуа Виет

Франсуа Виет (1540-1603) — французский математик, юрист по образованию и роду деятельности. Во время педагогических занятий в одной влиятельной семьи у него возник план новой астрономической системы, которая должна заменить неверную, по его мнению, систему Коперника. В связи с этим замыслом Виет приложил много усилий, чтобы усовершенствовать тригонометрию, и достиг замечательных успехов.

Блестяще образованный, Виет быстро продвигался по служебной лестнице и наконец стал близким советником и придворным ученым французских королей Генріхів III и IV. С 1584 по 1589 год вследствие происков политических врагов он был отстранен от придворных дел и использовал свое досуг на написання главного труда своей жизни — «Введение в искусство анализа» — большого и очень основательно написанного произведения с новой алгебры. Эта работа выходила частями, в основном уже после смерти автора, и не была полностью завершена.

Замысел Написания определялся следующими соображениями: большие успехи итальянских математиков в решении уравнений 3-го и 4-го степеней опирались на высокую эффективность алгебраических приемов. Но количество отдельных видов алгебраических уравнений угрожающе быстро росло, достигая, например, у Кардано 66; каждый из этих видов требовал особых приемов. 

Надо было найти общие методы подхода к решению алгебраических уравнений; последние должны рассматриваться в как общем виде с буквенными коэффициентами. Кроме того, надо было совместить эффективность алгебраических приемов с строгостью античных геометрических построений, которые Вієт хорошо знал и которые составляли, по его мнению, образцы подлинно научного анализа.

Многочисленную Виета предшествует арифметика, оперирующая числами,— logistica numeralis. Счисления букв получает название logistica speciosa, от слова species — член математического выражения.

На что разделяется исчисление

Исчисление разделяется на: зететику — искусство решения уравнений, пористику — искусство доказательства правильности найденных решений, экзегетику — общую теорию уравнений. Все величины обозначены буквами: неизвестные — гласными, известные — согласными. Числа — безразмерные, положительные, рациональные (в случае иррациональностей Виет переходит на язык геометрии), а величины имеют размерность. О геометрический влияние на концепцию величины свидетельствует специальная терминология: первый степень величины называется latus (сторона), второй — planum (плоскость), третий — solidum (тело).

Далее идут плоско-плоские, плоско-объемные, объемно-объемные и т. д. величины. Сложение и вычитание производятся над одноразмерными величинами.

Величины можно подравнивать в размерности умножением на единицу длины. Умножение и деление обусловливают изменение размерности. Эти идеи Так в его времена отражали наличие непреодолимого еще разрыва между числами и величинами. Впоследствии выяснилось, что они были предтечей ряда математических исчислений: векторного, тензорного, грассмановой алгебры.

Символика

Символика Виета также отягощенная еще грузом геометрических привнесений; она тяжелая, не всегда понятна, пересыпана сокращенными и даже не сокращенными словами. Вот примеры:

а) A cubus + В planum in А 3 aquatur D solido (A³ + 3BA = D, или

б) В parabola in A gradum — A potestate aquatur Z homogenae (BAⁿ —A^m+n = Z).

И все же благодаря этой символике впервые стало возможным выражать уравнения, их свойства общими формулами. Объектами математических операций стали не числовые задачи, а сами алгебраические выражения. Именно этот смысл Виет вкладывал в характеристику своего счисления как «искусства, что дает возможность хорошо делать математические открытия». Кстати, символы Виета были вскоре усовершенствованные его младшими современниками, особенно Гэрриотом (1560-1621).

В сочинениях Виета подводится своеобразный итог математики эпохи Возрождения. Наиболее отчетливо эта особенность проявляется в его алгебраических трудах. В них подробно и основательно изложены сведения об уравнении 1—4-го степеней. Общий характер записей дает Виету возможность весь изложение строить не как собрание рецептов, а как общую теорию уравнений.

Для этого он использует богатый арсенал алгебраических преобразований, что опирается на подстановки: х = у + Ʀ (чтобы исключить член, который имеет неизвестное во втором по величине степени), х = + (для исключения члена, который содержит х), х = Ʀy (с целью устранения дробных коэффициентов), x = (a/b) в (чтобы придать коэффициенты при х^n-1 данное значение) и тому подобное. От радикалов он освобождался, отсоединяя один член и поднося обе части уравнения к степень.

Пример уравнения

Например, всякое кубическое уравнение он преобразует к виду 

х³ + 3ах = b 

и затем применяет подстановку 

а = t² + tx, 

чтобы прийти к уравнению

x³+ 3tх² + 3t²x = b. 

Из последних двух уравнений, преобразованных к виду:

(x + t)³ — t³ = b

t³(t + х)³ = а³,

он достает квадратное относительно t³ уравнение (t³)² + bt^z = а³. Можно и без посредственно подставить х = (a — t²) : t в уравнения, чтобы иметь тот же результат.

Неприводимый случай кубического уравнения Виет свел к задаче о трисекцію угла. Он показал, что всякое несводимое уравнение можно преобразовать к виду х³ — 3х = а. Сопоставляя его с тригонометрическим соотношением (2 cos φ)³ — 3 (2 cos φ) = 2 cos 3φ, Вієт демонстрирует такое сведение. Задачу о трисекцію угла он решает известным ему из античных источников методом вставок.

Решая задачи, Виет отыскивает положительные корни. За помощью преобразований х = — в он подходит к проблеме нахождения корней. Развивая результаты Кардан, Виет высказывает ряд теорем о взаимосвязи корней уравнений и их коэффициентов, включающих отдельные случаи теоремы, известной теперь под его именем. В связи с этим он рассматривает, в указанных выше пределах, образования уравнений произведением биномов. Полностью утверждение о зависимости коэффициентов и корней уравнений сформулировали Гэрриот и А. Жирар, а опубликовал его впервые Жирар в 1629 г.

Алгебра Виета

Алгебра Виета была еще несовершенной и имела большие недостатки, ее очень тяготило видовое трактовка величин, имеющих размерность. В ней нет общего толкования степеней, все степени натуральные. Принципиальное обособление чисел и алгебраических величин не давало ему употреблять радикалы для величин, а только для чисел t т. п. Ее скоро вытеснила алгебра Где карта. Однако известно, что Ферма, например, изучив алгебру Viète, соблюдал ее формы, когда строил аналитическую геометрию.

Сопоставление алгебраической и тригонометрической задачи, отмеченное во время решения кубического уравнения, не было для Написания случайной находкой, эпизодом. Вієт проявил интерес к алгебре за ее пригодность и даже необходимость для задач тригонометрии и астрономии. Далее тригонометрические и алгебраические труда и результаты идут одновременно, нередко переплетаясь.

Виет не ограничился определением всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным элементам. Он разложил тригонометрические функции и кратные дуги способом последовательного применения формул для синуса и косинуса суммы двух углов.

После смерти Виета стали известными многие его рекуррентных формул, таких, как

cos mα = 2 cos α • cos (m — 1) α — cos (m — 2) α,

sin mα = 2 cos α • sin (m — 1) α — sin (m — 2) α,

sin mα = 2 sin α • cos (m— 1)α + sin (m — 2) α,

cos mα = — 2 sin α • sin (m — 1) α + cos (m — 2) α.

Несколько странное впечатление остается от того, что таких больших результатов гоніометрії достигнуто при достаточно общем определении тригонометрических функций как отношения сторон прямоугольного треугольника без намека на введение твірного круга. Так часто бывает в истории; результаты сначала появляются, а затем осмысливаются и получают удовлетворительное общее толкование.

Значительным достижением Виета является введение им впервые в математику задачи о нахождении бесконечного произведения. Если вокруг правильного n-угольника площади S_n описать круг радиуса r и вписать в него круг радиуса ρ_n, то после удвоения сторон n-угольника получим

S_n : S_2n = ρ_n : r — cos (π n). Начнем с вписанного квадрата π = 4; S₄ = 2r².

Последовательно полагая n = 4, 8, 16,…, достанем

S₄: S₈ = cos (π:4) , S₈ : S₁₆ = cos (π:8)

Теперь Виет «переходит границы». Он говорит что для п = ∞ получим круг, площадь которого 

S∞ = πr². 

Перемножив всю цепочку равенств, он находит

2 : π= cos(90°: 2) • cos (90°: 4) • cos (90°: 8) …,

Понятно, Виет не доказывает сходимости бесконечного произведения, ибо интуитивно он уверен в правильности своего предельного утверждения.