Теория:
Общим наибольшим делителем двух или нескольких многочленов называется многочлен наивысшей степени из числа входящих множителями во все эти выражения.
Делители, отличающиеся лишь коэффициентами, обычно не считаются за различные. При отыскании общего наибольшего делителя выражений на коэффициент обычно внимания не обращают, принимая его в наибольшем делителе равным единице.
Как найти общий наибольший делитель
Пример. Найти общий наибольший делитель выражений:
12а4b2с и 32а2b3с3.
Общий наибольший делитель (или множитель) коэффициентов 12 и 32 есть 4.
Общий наибольший делитель а4b2с и а2b3с3 есть a2b2с.
Следовательно, общий наибольший делитель заданных выражений равен 4а2b2с.
Правило. Для нахождения общего наибольшего делителя следует:
- Найти наибольший делитель коэффициентов.
- Умножить его на общих буквенных множителей с наименьшим показателем, который они имеют в каком-либо из данных выражений.
Нахождение общего наибольшего делителя (метод Евклида)
Если имеются два многочлена, в которые входят степени только одной переменной х, то для нахождения их общего наибольшего делителя можно поступить следующим образом:
Прежде всего следует разделить выражение, содержащее переменную в более высокой степени, на выражение, содержащее ее в более низкой.
Последнее нужно разделить на остаток от первого деления. Продолжая аналогичным образом, дойдем до такого выражения, которое делит последний остаток нацело.
Это и будет искомый наибольший делитель. Пример №2.
Практика:
Пример решения
Найти общий наибольший делитель выражений:
3х3 — 3ху3 и 6х3 — 12х2у + 6ху2.
3x3 — 3xу2 = 3х(х + у)(х — у)
6х3 — 12х2у + 6ху2 = 2 • 3х(х — у)(х — у).
Следовательно, общий наибольший делитель равен:
3х(х — у).
Пример №2. Найти общий наибольший делитель многочленов:
х4 — 5х3 + 4х2 + 10х — 12
х3 — 3х2 — 3х + 9
Поступая согласно вышесказанному, имеем:
Так как х — 3 (последний остаток) делит нацело х2 — 5х + 6 (последний делитель), то х — 3 есть общий наибольший делитель заданных выражений.