Теория:
Формула бинома Ньютона для целого положительного показателя
Эта формула служит дли разложения (а + b)n.
Простым перемножением можно, например, найти:
(а + b)2 = a2 + 2ab + b2
(а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(а + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(а + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Если через n обозначить показатель степени, в которую возвышается бином в приведенных выше случаях, то результат можно представить в общем виде таким образом:
Члены этого выражения изменяются по определенному закону, а именно:
- Показатель буквы а в первом члене разложения ранен показателю степени бинома (в левой части равенства) и уменьшается на единицу в каждом последующем члене. В последнем члене он равен нулю.
- Показатель буквы b увеличивается на единицу в каждом последующем члене. Будучи нулем в первом члене, он достигает в последнем той же величины, что и показатель степени бинома.
- Для нахождения коэффициента любого члена, следует умножить коэффициент предыдущего на показатель в нем буквы а и разделить произведение на число предшествующих членов.
- Если а и b положительны, то перед каждым членом разложения стоит знак плюс, если же b отрицательно, то четные члены (т. е. второй, четвертый и т. д.) будут иметь знак минус.
- Справедливость такого разложения для целых положительных показателей может быть легко доказана и в общем виде.
Формула бинома для n дробного и отрицательного дана в n° 458.
Практика:
Пример решения по формуле бинома Ньютона
Удобный способ разложения по формуле бинома заключается в следующем:
Сперва пишут буквы с соответствующими показателями. Под ними помещают коэффициенты каждого члена, а затем их знаки.
Наконец полученные члены соединяют вместе.
Пример. Найти, посредством формулы бинома, пятую степень выражения (b — у).
Имеем:
(b — у)5 =
Буквы с показателями | b5 | b4y | b3y2 | b2y3 | by4 | y5 |
Коэффициенты | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Знаки | + | — | + | — | + | — |
Ответ | b5 — 5b4y + 10b3y2 — 10b2y3 + 5by4 — y5 |
Примечание. Коэффициент четвертого члена получается умножением коэффициента третьего члена па показатель буквы b, т. е. 10 • 3 = 30, и делением на 3 — порядковый номер этого члена (или число членов, предшествовавших четвертому).