Теория:
Частное, полученное при делении одного числа на другое, называется отношением.
Отношение а к b есть a/b или а : b.
Так как отношение имеет вид дроби, то все правила, касающиеся дробей, могут быть применены и к отношениям.
Равенство двух отношений называется пропорцией.
Например:
2/3 = 4/6
или
a : b = c : d
суть пропорции.
Математика отношения и пропорции
Первый и четвертый члены ее называются крайними, а второй и третий — средними членами.
Если второй и третий члены равны, то каждый из них является средним пропорциональным между первым и четвертым членами:
а : b = b : с,
откуда
b = √(ас).
Если:
ad = bc,
Часто вместо выражений „двучлен», „трехчлен», „многочлен» употребляют греческие названия их: (бином, трином, полином.)
то:
a : b = c : d
d : a = d : c
a : c = b : d
c : a = d : b.
Taк как в каждом из этих случаев произведение крайних равно произведению средних или ad = bс, то любая пара членов может служить крайними, а другая пара — средними членами пропорции.
Практика:
Пример решения отношения и пропорции
Докажем, что (a + b) / (a — b) = (c + d) / (c — d), если a / b = d / c.
Так как ad = bc или bc = ad, то, умножая на 2, получим:
2bc = 2ad.
Последнее равенство можно переписать так:
bc + bc = ad + ad.
Перенося члены, имеем:
bc — ad = ad — bc.
Прибавляя к обеим частям равенства ас — bd, получим:
ас + bc — ad — bd = ас — bc + ad — bd,
откуда:
с(а + b) — d(a + b) = c(a — b) + d(a — b)
или, выноса за скобки общие множители, (a + b) (c — d) = (a — b) (с + d)
Делим обе части на (а — b) (с — d):
((a + b) (c — d)) / ((a — b) (с — d)) = ((a — b) (с + d)) / ((a — b) (с — d))
или
(a + b) / (a — b) = (c + d) / (c — d)
Если ad = bc, то подобным же образом можно доказать справедливость следующих пропорций:
(a + b) / b = (c + d) / d;
(a + b) / a = (c + d) / c;
(a — b) / b = (c — d) / d;
(a — b) / a = (c — d) / c;
(a + c) / (a — b) = (b + d) / (b — d);
(a + b) / (a — b) = (c + d) / (c — d).
Произведения соответствующих членов двух или более пропорций также составляют пропорцию.
Если:
a / b = c / d
и
m / n = p /q,
то
(am) / (bn) = (cp) / (dq).
Умножение или деление обоих членов отношения на одно и то же число не изменяет величину отношения:
a / b = (am) / (bm).
Если а : b = с : d, то та : mb = nc : nd или
(a / m) : (b /m) = (c / n) : (d / n).\
Если четыре числа составляют пропорцию, то их одинаковые степени, а также корни одной и той же степени из них составляют пропорцию.
При a : b = c : d, справедливы пропорции:
an : bn = cn : dn
и
a1/n : b1/n = c1/n : d1/n.
Ряд пропорций
В случае ряда пропорций:
a : b = c : d = e : f = g : h сумма первых (предыдущих) членов относится к сумме вторых (последующих) так же, как каждый ив предыдущих относится к своему последующему:
(a + c + e + g) / (b + d + f + h) = a / b = c / d = и так далее.
или, если
a / x = b / y = c / z = r (постоянное отношение),
то
((a + b + c + • • •) / (x + y + z + • • •)) = r
Если задача требует нахождения двух чисел, которые относятся друг к другу как т : п, то рекомендуется представлять эти неизвестные в виде тх и пх.
Если a : b = b : с = c : d, то b = 3√(a2d ) и с = 3√(ad 2).
Обе эти величины являются средними геометрическими между а и d.