Неявные функции (пример, решение)

  Теория:

Выражение:

Ах² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0  [ ур-ние 1]

есть общая форма квадратного уравнения с неизвестными х и у.

Из него видно, что у есть какая-то функция от х, причем самый вид функции нам неизвестен.

В таких случаях говорят, что у есть неявная функция от х.

Поставим себе задачу получить общее представление о кривых, соответствующих уравнениям указанного вида, а также соотношениям между членами уравнения и их коэффициентами.

Наличие членов с неизвестными в первой степени указывает на то, что координатные оси кривой, соответствующие кривой, выражаемой членами второй степени и постоянной, были перенесены.

Член Dx указывает на передвижение кривой в направлении оси X, а члены Су—в направлении оси Y, присутствие же и того и другого в ур-нии [1] указывает на передвижение кривой в обоих направлениях.

Заметим, что из этого правила имеются исключения.

Член Вху указывает на поворот кривой на некоторый угол относительно координатных осей.

Величины и знаки коэффициентов остальных членов ур-ния [1] (а также свободного члена) определяют форму и характер кривой.

Особое свойство неявной функции, имеющей вид:

Ах² + Вху + Су² + Dx + Еу + F = 0

заключается в том, что у является двузначной функцией х, ибо каждому частному значению х соответствуют два значения у при условии, что С ≠ 0.

  Практика:

Пример решения неявных функций

Рассмотрим простейшие случаи общего уравнения, а именно:

[ур-ние 2] Ах² + Еу = 0

[ур-ние 3] Cy² + Dx = 0

[ур-ние 4] Аx² + Eу + F = 0

[ур-ние 5] Су² + Dx + F = 0

[ур-ние 6] Aх² + Су² + F =0.

Перенося, в ур-нии [2], член Еу и разделив на Е, получим:

у = -(A/E)x²,

что соответствует уравнению у = ах², в котором:

a = -(A/E).

Напомним, что указанное уравнение соответствует параболе, которой служит ось Y (рис. а и б).

Парабола обращена вершиной вниз, если а положительно, и вершиной вверх, если а отрицательно.

Таким образом, при разных знаках у А и Е и следовательно при а положительном кривая обращена вершиной вниз.

В ур-нии [3] условия аналогичны предыдущим с той лишь разницей, что х и у поставлены одно вместо другого, причем осью симметрии параболы является ось X.

Ур-ние [3] приводится к виду:

х = ау².

так как переносом члена Су² и делением на D получаем:

x = -(C/D)y₂,

a = -(C/D)

Рассуждая точно таким же образом, как и ранее, видим, что если С и D имеют одинаковые знаки, то вершина параболы направлена в сторону положительных х-ов.

А если разные, то вершина направлена в сторону отрицательных х-ов.

Ax² + Ey + F = 0 [ур-ние 4]

получается из общего уравнения, если В, С и D равны нулю.

Cy² + Dx + F = 0 [ур-ние 5]

получается из общего уравнения, если А, В и Е равны нулю.

Ур-ния [5] и [4] могут быть преобразованы к явной форме у = ах² и х = ау².