Квадратные уравнения

  Теория:

Все уравнения вида: ах² + bх + с = 0, можно отнести к квадратным уравнениям, где a, b, c действительные числа.

Можно разделить на:

1. Аналитический способ решения.
2. Индийский способ решения.

Аналитический способ решения

Для решения квадратного уравнения, т. е. для определения значений неизвестных, удовлетворяющих уравнению, следует поступать так:

1. Привести к общему виду: ах² + bх + с = 0.
2. Если возможно, то разложить уравнение на множители.
3. Если трудно найти множители, то следует решать посредством дополнения до квадрата или по формуле.
4. Проверить результаты, отбрасывая при этом посторонние корни, полученные во время приведения к общему виду. Кроме того необходимо учесть потерянные (при делении) корни.

Квадратные уравнения Индийский способ решения

ах² + bх + с = 0.                     (1)

Перенося с, имеем:

ах² + 6х = — с.                    (2)

Умножаем (2) на 4а, тогда

4а²х² + 4аbх = — 4ас.

Дополняем левую часть уравнения до квадрата, для чего прибавляем к обеим частям величину b²:

4а²х² + 4аbх + b² = b² — 4ас.

Извлекая из обеих частей квадратный корень, имеем:

2ax + b = ± √(b² — 4ac)

x = (-b ± √(b² — 4ac))/2a

Таким образом, если квадратное уравнение представлено в общей форме (1), то, перенося постоянный член с в правую часть и дополняя до квадрата, можно избежать появления дробей.

Для этого умножаем все члены на учетверенный коэффициент при х², а затем прибавляем к обеим частям равенства квадрат коэффициента при х в заданном уравнении.

Описанный способ дополнения до квадрата называется индийским.

Квадратные уравнения решение посредством формул

Всякое квадратное уравнение с одной неизвестной, выраженное в явной форме, можно привести к виду:

ах² + bх + c = 0

, в котором а — положительное, а b и с могут быть положительными или отрицательными.

Корни такого уравнения можно найти по формуле:

x₁ = (-b + √(b² — 4ac))/2a

и

x₂ = (-b — )/2a

Исследование заказанных значении х покажет, что характер корней, т. е. являются ли они действительными, мнимыми, рациональными или иррациональными.

Определяется тем, окажется ли величина √(b² — 4ac) величиной действительной, мнимой, рациональной или иррациональной.

Всякое квадратное уравнение вида:

ах² + bх + с = 0

может быть приведено делением на коэффициент при х² к форме:

х² + рх + q = 0,

корни которого, найденные непосредственным решением, равны:

x₁ = (- p + √(p² — 4g))/2

и

x₂ = (- p — √(p² — 4g))/2

Сумма корней:

x₁ + x₂ = -2p/2 = —p

Произведение корней:

x₁x₂ = (р² — (р² — 4q))/4 = q

Отсюда вытекает правило:

Сумма корней квадратного уравнения видаx² + px + q = 0 равна коэффициенту при х, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно постоянному члену.

Составление квадратного уравнения

Обозначим заданные корни через r₁ и r₂. Сумма корней квадратного уравнения вида:

х² + рх + q = 0,

r₁ + r₂ = — р.

а произведение:

r₁r₂ = q

поэтому, подставляя в общее уравнение — (r₁ + r₂) вместо р, и r₁r₂ вместо q, будем иметь

x² — (r₁ + r₂) x + r₁r₂ = 0.

Раскрывая скобки, находим:

x₂ — r₁x — r₂x + r₁r₂ = 0.

Разлагая на множители, получим:

(x — r₁)(x — r₂) = 0.

Таким образом для составления квадратного уравнения по заданным корням следует вычесть каждый из них из х, а затем приравнять произведение разностей нулю.

  Практика:

Пример решения квадратных уравнений

Пример № 1. Найти корни уравнения

3x² = 10x — 3.

Приводя уравнение к общему виду ах² + bх + с = 0, имеем:

3x² — 10x + 3 = 0.

Разлагаем уравнение на множителя:

(х — 3)(3х — 1) = 0,

откуда

х — 3 = 0

или

3х — 1 = 0,

то есть

х = 3 или 1/3

Пример № 2. Решить уравнение

х² + 6х = — 5

посредством дополнения до квадрата.

Прибавляем к обеим частям уравнения 9, тогда:

х² + 6х + 9 = 4

(х + 3)² = 4.

Извлекая корень квадратный ив обеих частей уравнения, имеем:

х + 3 = ±2.

х = -3 — 2 или — 3 + 2 = — 5 или — 1.

Пример № 3. Найти корни уравнения

9_х² + 30_х = — 9.

Дополним до квадрата

9х² + 30х + 25 = 16.

Чтобы определить величину, которую следует прибавить к обеим частям уравнения для получения полного квадрата обратите коэффициент при х² в полный квадрат.

Тогда число которое необходимо прибавить к трехчлену, получится делением половины коэффициента при х на корень квадратный коэффициента при х² и возвышением частного в квадрат.

((b/2)/(√a))2 = (b²/4)/(a/1) = b²/4a

причем а обращено в точный квадрат.