Теория:
Все уравнения вида: ах2 + bх + с = 0, можно отнести к квадратным уравнениям, где a, b, c действительные числа.
Можно разделить на:
- Аналитический способ решения.
- Индийский способ решения.
Аналитический способ решения
Для решения квадратного уравнения, т. е. для определения значений неизвестных, удовлетворяющих уравнению, следует поступать так:
- Привести к общему виду: ах2 + bх + с = 0.
- Если возможно, то разложить уравнение на множители.
- Если трудно найти множители, то следует решать посредством дополнения до квадрата или по формуле.
- Проверить результаты, отбрасывая при этом посторонние корни, полученные во время приведения к общему виду. Кроме того необходимо учесть потерянные (при делении) корни.
Квадратные уравнения Индийский способ решения
ах2 + bх + с = 0. (1)
Перенося с, имеем:
ах2 + 6х = — с. (2)
Умножаем (2) на 4а, тогда
4а2х2 + 4аbх = — 4ас.
Дополняем левую часть уравнения до квадрата, для чего прибавляем к обеим частям величину b2:
4а2х2 + 4аbх + b2 = b2 — 4ас.
Извлекая из обеих частей квадратный корень, имеем:
2ax + b = ± √(b2 — 4ac)
x = (-b ± √(b2 — 4ac))/2a
Таким образом, если квадратное уравнение представлено в общей форме (1), то, перенося постоянный член с в правую часть и дополняя до квадрата, можно избежать появления дробей.
Для этого умножаем все члены на учетверенный коэффициент при х2, а затем прибавляем к обеим частям равенства квадрат коэффициента при х в заданном уравнении.
Описанный способ дополнения до квадрата называется индийским.
Квадратные уравнения решение посредством формул
Всякое квадратное уравнение с одной неизвестной, выраженное в явной форме, можно привести к виду:
ах2 + bх + c = 0
, в котором а — положительное, а b и с могут быть положительными или отрицательными.
Корни такого уравнения можно найти по формуле:
x1 = (-b + √(b2 — 4ac))/2a
и
x2 = (-b — )/2a
Исследование заказанных значении х покажет, что характер корней, т. е. являются ли они действительными, мнимыми, рациональными или иррациональными.
Определяется тем, окажется ли величина √(b2 — 4ac) величиной действительной, мнимой, рациональной или иррациональной.
Всякое квадратное уравнение вида:
ах2 + bх + с = 0
может быть приведено делением на коэффициент при х2 к форме:
х2 + рх + q = 0,
корни которого, найденные непосредственным решением, равны:
x1 = (- p + √(p2 — 4g))/2
и
x2 = (- p — √(p2 — 4g))/2
Сумма корней:
x1 + x2 = -2p/2 = —p
Произведение корней:
x1x2 = (р2 — (р2 — 4q))/4 = q
Отсюда вытекает правило:
Сумма корней квадратного уравнения видаx2 + px + q = 0 равна коэффициенту при х, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно постоянному члену.
Составление квадратного уравнения
Обозначим заданные корни через r1 и r2. Сумма корней квадратного уравнения вида:
х2 + рх + q = 0,
r1 + r2 = — р.
а произведение:
r1r2 = q
поэтому, подставляя в общее уравнение — (r1 + r2) вместо р, и r1r2 вместо q, будем иметь
x2 — (r1 + r2) x + r1r2 = 0.
Раскрывая скобки, находим:
x2 — r1x — r2x + r1r2 = 0.
Разлагая на множители, получим:
(x — r1)(x — r2) = 0.
Таким образом для составления квадратного уравнения по заданным корням следует вычесть каждый из них из х, а затем приравнять произведение разностей нулю.
Практика:
Пример решения квадратных уравнений
Пример № 1. Найти корни уравнения
3x2 = 10x — 3.
Приводя уравнение к общему виду ах2 + bх + с = 0, имеем:
3x2 — 10x + 3 = 0.
Разлагаем уравнение на множителя:
(х — 3)(3х — 1) = 0,
откуда
х — 3 = 0
или
3х — 1 = 0,
то есть
х = 3 или 1/3
Пример № 2. Решить уравнение
х2 + 6х = — 5
посредством дополнения до квадрата.
Прибавляем к обеим частям уравнения 9, тогда:
х2 + 6х + 9 = 4
(х + 3)2 = 4.
Извлекая корень квадратный ив обеих частей уравнения, имеем:
х + 3 = ±2.
х = -3 — 2 или — 3 + 2 = — 5 или — 1.
Пример № 3. Найти корни уравнения
9х2 + 30х = — 9.
Дополним до квадрата
9х2 + 30х + 25 = 16.
Чтобы определить величину, которую следует прибавить к обеим частям уравнения для получения полного квадрата обратите коэффициент при х2 в полный квадрат.
Тогда число которое необходимо прибавить к трехчлену, получится делением половины коэффициента при х на корень квадратный коэффициента при х2 и возвышением частного в квадрат.
((b/2)/(√a))2 = (b2/4)/(a/1) = b2/4a
причем а обращено в точный квадрат.