Джон Непер (логарифм, число отношения)

 Теория:

Джон Непер  ( John Napier 1550—1617), сравнивая арифметическую и геометрическую прогрессии, нашел, что между членами этих двух рядов существует определенная связь.

Это привело к открытию соотношений, оказавшихся чрезвычайно полезными в смысле облегчения вычислений.

Рассмотрим приведенную ниже в таблице арифметическую прогрессию, первый член которой равен, нулю, и геометрическую с первым членом, равным единице.

Геометрическая прогрессия	1	2		8	16	32	62	128	256
Арифметическая прогрессия	0	1	2	3	4	5	6	7	8

Произведение любых двух членов геометрической прогрессии может быть найдено путем сложения членов арифметической, стоящих под ними.

Указанное произведение находится над членом арифметической прогрессии, равным этой сумме.

Джон Непер установил для своей системы особое основание. Он разыскал для промежутка между единицей и двумя ряд из ста чисел, находящихся в равных отношениях.

Таким образом между 1 и 2 он вставил сто средних геометрических. Отсюда и произошло название (логарифм), которое по-гречески означает (число отношения).

 Пример решения:

Например, произведение 8 на 32 найдется следующим образом:

Сложив члены арифметической прогрессии, стоящие под членами 8 и 32 геометрической, имеем:

3 + 5 = 8.

Разыщем в нижней строке число 8 и найдем непосредственно над ним искомое произведение, равное 256.

Заметим, что знаменатель данной геометрической прогрессии равен 2, так что ее можно представить в таком виде:

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴,2⁵, 2⁶, 2⁷, 2⁸, 2⁹, 2¹⁰.

Показатели этих степеней составляют арифметическую прогрессию, члены которой даны в нижней строке таблицы.

Число 2 является основанием системы, а показатели членов геометрической прогрессии (составляющие, как было указано, арифметическую) называются логарифмами чисел, который стоят в верхней строке таблицы над ними.

Так, например, логарифм числа 16 при основании 2 равен 4, что обозначается так:

lg₂ 16 = 4.

Рассмотренные нами ряды, однако, неудобны для вычислительных целей, так как произведения отсутствующих там чисел не являющихся членами геометрической прогрессии, например 68 или 250, не могут быть найдены в таблице.

Можно написать какое угодно число рядов, но все они будут страдать тем недостатком, что между их членами остаются незаполненные промежутки.