Свободное падение

Свободное падение тел

Что такое свободное падение это происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны, происходит действием силы тяжести на тело, причем другие силы такие как трение, атмосферное давление, ветер при этом явлении очень малы, поэтому при подщете ими пренебрегают, но до сих пор точного объяснения нет так как не могут объяснить силы тяготения действующую на тело в момент падения.

Давайте понаблюдаем за падением камня и поразмыслим над тем, что нам известно о свободном падении тел. Как мы получили эти знания? Каким образом мы свели их в систему законов, которые четко запоминаются и которыми легко пользоваться? Что они дают? Почему мы придаем такое значение научным знаниям, принявшим форму законов? Прежде чем читать дальше, проделайте следующий опыт. Возьмите два камня (или две книги, или две монеты) разных размеров. Прикиньте, намного ли больший тяжелее.

Представьте себе, насколько быстрее он будет падать, если оба камня одновременно свободно выпустить из рук. Вы, конечно, предположите, что камни будут падать со скоростями, пропорциональными их весу: камень весом 100 Г будет падать вдвое быстрее камня весом 50 Г. Теперь поднимите оба камня повыше и выпустите их из рук одновременно… Чему вы склонны поверить: тому, что видели, что предполагали, или тому, «что написано в книге»?

Много тысячелетий назад люди наверняка замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы — этот вопрос никого не занимал. Откуда у первобытных людей должно было появиться стремление выяснить как или почему? Если они вообще размышляли над причинами или объяснениями, то суеверный трепет сразу же заставлял их думать о добрых и злых духах. Мы легко представляем, что эти люди с их полной опасности жизнью считали большую часть обычных явлений «хорошими», а необычные — «плохими»; ведь и мы сегодня употребляем слово «естественный» в качестве положительной оценки, а «неестественный» говорим с оттенком неприязни.

В этом стремлении к обычному есть нечто мудрое: в мире, лишенном установленного порядка и полном случайностей, было бы опасно жить. Едва выйдя из пеленок, дети лишаются надежной защиты и попадают в суровый, безжалостный мир, в котором кирпичные стены ставят синяки, а раскаленная печь может обжечь до волдырей. Детям нужен безопасный и упорядоченный мир, подчиняющийся определенным правилам. Поэтому они бывают так довольны, когда сложным явлениям окружающего мира даются уверенные «объяснения». Стремление искать безопасность в порядке, которое мы наблюдаем у развивающихся детей, вероятно, характерно было и для более медленного процесса превращения первобытного дикаря в цивилизованного человека.

В процессе развития цивилизации великие мыслители делали попытки объяснить окружающий мир — неодушевленную природу, живые существа и даже мысли человека — с помощью набора правил и утверждений. Почему они это делали — вопрос трудный. Быть может, некоторые из них действовали как наставники и учителя по отношению к своим более простым собратьям. Других, наверное, толкало детское любопытство — потребность в точном знании, рожденная чувством неуверенности. Третьих, может быть, вдохновляли какие-то более глубокие чувства — любознательность и удовольствие, доставляемое человеку мышлением,— чувства, порожденные не страхом, а интеллектуальным наслаждением, и этих людей можно назвать истинными философами и учеными.

Все люди в своем развитии проходят много ступеней познания: от бессмыслицы суеверий до научного мышления. Какой ступени достигли вы в изучении свободного падения тел, которое можно считать простым явлением? Проверьте ваши теперешние знания простым наблюдением за падением некоторых тел. Возьмите два разных камня (или две монеты) и дайте возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова одновременно бросьте два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросьте один камень в сторону и в тот же момент выпустите из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Понаблюдайте за движениями камней снова и снова. Посмотрите, сколько сведений о природе можно извлечь из таких опытов. Быть может, это вам покажется детской забавой, пустой тратой времени, но нужно принять во внимание следующие обстоятельства:

1. Это — опыты. Вся наука построена на информации, получаемой в результате прямых опытов, подобных вашим.
2. Для физика опыт с одновременным бросанием легкого и тяжелого камней — не просто надуманная забава; он демонстрирует изумительно простой факт: наблюдать снова и снова доставляет наслаждение. Тот физик, который не получает удовольствия от наблюдения за падением гривенника и полтинника, брошенных одновременно,— человек бесчувственный.
3. В наблюдаемом поведении падающих и летящих тел заключен зародыш замечательной научной идеи: представление о силовых полях, которое играет важную роль в развитии современной механики в теории относительности.
4. 4. А вот как обстоит дело на практике: если для проведения всех мыслимых опытов вы будете пользоваться лишь подручными средствами, то при всей вашей изобретательности вы все же упустите кое-какие из возможных открытий; область исследования так широка, что какой-то другой испытатель с помощью аналогичного приспособления может обнаружить что-нибудь из упущенного вами.

Человечество, разумеется, не собирало знания таким путем. Люди не говорили: «Мы отправимся в лабораторию и будем проводить эксперименты». Они экспериментировали повседневно, изучая ремесла или создавая новые машины. Своего рода опыты мы проводим в течение всей нашей жизни. В детстве ванна и игрушки служили оборудованием вашей первой физической лаборатории. Там вы познали реальный мир, но это мало дало вам в смысле приобретения систематических научных знаний. Например, научили ли вас игрушки тому, что вы сейчас узнали, наблюдая за падающими телами?

По мере своего развития человечество приобретало не только знания, но и предрассудки. Профессиональные секреты и традиции ремесленников уступили место организованному познанию природы, которое шло от авторитетов и сохранялось в признанных печатных трудах.

Из опытов выводим простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны. Этот замечательный и простой факт люди находят удивительным. Действительно, некоторые не верят, когда им о нем говорят, но в то же время упорно отказываются проделать простой опыт.

Результат получается поразительный. Разве вы могли предположить, что камень весом 1 кГ будет падать с такой же скоростью, что и камень весом 5 кГ? Разве не более разумно предположить, что камень весом 5 кГ падает в 5 раз быстрее? Тем не менее простой опыт показывает, что куски металла, камни и т. д. весом ¹/₂, 1 и 5 кГ падают одинаково.

Изучение свободного падения тел

Какова история развития этой области научного знания? Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполняемым экспериментом, вероятно, долго, существовал разрыв. Интерес к движению свободно падения брошенных тел возрастал вместе с усовершенствованием оружия. Применение копий, стрел, катапульт и еще более замысловатых «орудий войны» позволило получить примитивные и туманные сведения из области баллистики, но они принимали форму скорее рабочих правил ремесленников, нежели научных познаний,— это были некие несформулированные представления.

Две тысячи лет назад греки думали и писали о природе с подлинно научным интересом. Возможно, их вдохновлял пример начавшейся еще раньше такой же деятельности в Египте и Вавилоне. Греки формулировали правила свободного падения тел и дали им объяснения, но эти правила и объяснения были малообоснованны. Некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами, но использование в средние века традиционных античных представлений, предложенных Аристотелем (примерно 340 г. до н. э.), скорее запутало вопрос. И эта путаница длилась еще много столетий. Применение пороха значительно повысило интерес к движению тел. Однако первые орудия по-прежнему служили главным образом для устрашения врага, и лишь Галилей (примерно в 1600 г.) заново изложил основы баллистики в виде четких правил, согласующихся с практикой. Эти правила были справедливы для тяжелых пушечных ядер, летящих с малой скоростью, позволяющей пренебречь сопротивлением воздуха. С того времени скорость полета снарядов неуклонно увеличивалась, и сопротивление воздуха становилось все более важным фактором, заставившим видоизменить упрощенное рассмотрение Галилея.

Закон свободного падения тел

Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало о толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью. Галилей писал: «…различие в скорости движения в воздухе шаров из золота, свинца, меди, порфира и других тяжелых материалов настолько незначительно, что шар из золота при свободном падении на расстоянии в одну сотню локтей наверняка опередил бы шар из меди не более чем на четыре пальца. Сделав это наблюдение, я пришел к заключению, что в среде, полностью лишенной всякого сопротивления, все тела падали бы с одинаковой скоростью». Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы свободного падения для идеального случая:

1. Все тела при падении движутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью.
2. Движение происходит «с постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т. е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину.

Предположив, что эти законы справедливы в идеальном случае, мы могли бы проверить их в реальных опытах, учтя отклонения, обусловленные трением.

Почему тела падают

Аристотеля интересовал ответ на вопрос: «Почему?». Почему тела падают? А что вы ответите на этот вопрос? Если вы скажете: «Вследствие гравитации, или земного притяжения», то не будет ли это означать, что вы просто прячетесь за длинное слово? Слово «гравитация» латинского происхождения и означает тяжелый или весомый. Вы говорите: «Тела падают, потому что они весят». Почему же тела весят? Если вы ответите: «Вследствие силы тяжести», то это будет замкнутый круг. Если вы ответите: «Потому что Земля притягивает их», то следующий вопрос будет: «Откуда вы знаете, что Земля продолжает притягивать тела, когда они падают». 

Любая попытка доказать это, применяя какое-либо приспособление для взвешивания во время падения, приводит к неудаче. Вам, возможно, придется сказать: «Я знаю, что Земля притягивает их, потому что они падают», и вы снова вернетесь к началу. Подобными рассуждениями можно довести молодого физика до слез. Действительно, физика не объясняет тяготения, она не может установить его причину, хотя может сообщить о нем кое-что полезное. Общая теория относительности дает нам возможность представить себе тяготение в новом свете, но по-прежнему не устанавливает его первопричины. Мы можем сказать, что тела падают, потому что их притягивает Земля, но когда мы хотим объяснить, почему Земля притягивает тела, то все, что мы можем в действительности сказать, это: «Просто потому, что притягивает. Так устроена Природа»

Это вызывает разочарование у тех, кто надеется, что наука должна объяснить все. Мы же теперь считаем, что подобные вопросы о первопричине относятся уже к компетенции философии. Современная наука спрашивает о том, что и как, но не спрашивает о первичном почему. Ученые часто объясняют, почему происходит то или иное явление. Однако это не означает, что указывается первопричина или дается конечное объяснение; объяснение лишь связывает рассматриваемое явление с другими явлениями, относительно которых мы уже пришли к соглашению. Наука может лишь дать нам некоторое успокоение и понимание, связав вместе якобы различные факты. Так, сейчас наука не может сказать нам, что такое электричество, но говорит нам, что гул грома и треск искусственной электрической искры — почти одно и то же, рассеивая тем самым внушающее страх суеверие.

Аристотель объяснял падение тел следующим образом: «Естественное место тел — на поверхности Земли, поэтому они стремятся занять это место». Сегодня это объяснение называют глупым. Тем не менее в известном смысле оно сходно с нашей современной точкой зрения. Аристотель просто говорил: «Тела падают. Это естественно». Однако он развивал свою схему слишком далеко. Он объяснял, что плывущие над нами облака поднимаются кверху, потому что Их естественное место — наверху, в небе, и упускал таким образом из виду некоторые простые факты о плавучести .

Аристотель много занимался установлением «естественного места» и «естественного пути». Он различал «естественное движение» (падающих тел) и «насильственное движение» (брошенных тел). Он мог бы создать учение о силах и движении, если бы не ошибка, связанная с перенесением на все движения обывательского представления о лошади, тянущей телегу. Если лошадь развивает постоянное усилие, телега движется с постоянной скоростью. Это, по-видимому, и привело Аристотеля к представлению о том, что для поддержания постоянной скорости движущегося тела необходима постоянная сила, причем большая сила поддерживает большую скорость. Это разумное объяснение для случая, когда телу приходится преодолевать силу сопротивления. Однако оно приводит к заблуждению в случае свободного падения тел. Это объяснение не учитывает силы сопротивления и не дает возможности увидеть, что происходит, когда нет сопротивления.

Чтобы объяснить движение летящего тела, греки представляли, что оно поддерживается «напором воздуха», а для объяснения движения звезд и планет им потребовались еще более таинственные силы. Согласно представлениям греков, чтобы сохранить неизменным движение, необходим толчок. Стрела, пока она не отделилась от лука, движется под действием толчка, создаваемого тетивой. Для объяснения движения летящей стрелы потребовалось призвать на помощь еще одну силу. Философы — последователи Аристотеля рассматривали напор воздуха, толкающий стрелу, не просто как порыв ветра, движущийся вместе с нею, а как циркуляцию воздуха, при которой воздух впереди стрелы расталкивается в стороны и, обтекая стрелу, толкает ее сзади. Этот напор воздуха с успехом предотвращал образование бессмысленного вакуума за стрелой.

Представление о напоре воздуха, дополненном начальными возмущениями, утвердилось настолько прочно, что им воспользовались как доводом при доказательстве невозможности движения в вакууме падающих тел. В вакууме, где сопротивление отсутствует, любая сила поддерживала бы движение с бесконечной скоростью, рассуждали греки, поэтому вакуум невозможен. Бог никогда не мог бы создать вакуум. Сам Аристотель понимал, что в вакууме все предметы падали бы одинаково, но он тоже рассматривал это как доказательство невозможности существования вакуума.

Массы падающих тел

Чем бы в действительности ни было земное тяготение, все тела, если не учитывать влияния сопротивления воздуха, падают одинаково. Это приводит к удобному представлению, с которым мы будем встречаться снова и снова,— к представлению о массе. Предположим, что у нас имеются два куска свинца, весом 1 и 0,5 кГ. Держа их в руках, мы чувствуем, что большой кусок притягивается сильнее, ощущаем его больший вес. Именно поэтому нам кажется, что он будет падать быстрее. В действительности же это не так. Должен существовать какой-то другой фактор, нечто такое, что приходится преодолевать удвоенной силе веса.

Основанием для такого предположения служит тот факт, что движение должно сообщатся вдвое большему количеству свинца. К свинцовой чушке в двое большего размера, содержащей вдвое большее количество свинца, необходимо приложить удвоенную силу притяжения, чтобы привести в такое же движение. Галилей ощупью подошел к представлению о количестве вещества, которое мы называем массой, но четко это было сформулировано лишь Ньютоном. Представление о массе понять не просто, но мы будем много раз к нему возвращаться, ибо оно играет в физике очень важную роль. Сейчас мы обратим внимание на замечательный факт: независимо от материала, из которого состоит тело, притяжение силы тяжести и точности пропорционально количеству притягиваемого вещества. Земное тяготение, эта таинственная сила, притягивает без всяких различий любое тело, из чего бы оно ни состояло, притягивает два кирпича вдвое сильнее, чем один, 4 м³ свинца в 4 раза сильнее, чем 1 м³. Таким образом, на тело, в котором заключено больше вещества, действует большая сила притяжения, и при свободном падении его движение будет таким же, как движение меньшего тела.

Поле силы тяжести

Это обстоятельство, в котором мы убеждаемся повсюду, мы называем наличием тяготения, способностью притягивать тела. Мы говорим, что существует поле силы тяжести. Придумывая новый термин мы ничего нового не объясняем, но впоследствии он будет нам полезен.

В данный момент вы должны представлять себе поле силы тяжести как способность притянуть к Земле, заставить падать (с пропорционально возрастающей силой) любое тело, помещенное в это поле. То же самое происходит с кусочками железа вблизи магнита: магнитное поле способно притянуть их. В трубке вашего телевизора электрическое и магнитное поля ускоряют летящие электроны и быстро перемещают по экрану пучок, создающий изображение.

Мы, пожалуй, несколько увлеклись новыми словами и представлениями, такими, как масса и поле, появляющимися в результате простых экспериментов. Если мы будем просто поклоняться новым представлениям и словосочетаниям, то рискуем вернуться к тому положению, когда явления объяснялись колдовством. Если же мы будем пользоваться этими новыми представлениями для развития наших знаний, экспериментально проверяя выдвигаемые нами предположения, то они помогут успешному развитию науки.

Причины свободного падения

Если все свободно падающие тела движутся одинаково, то это движение само по себе заслуживает детального исследования. Оно могло бы рассказать нам кое-что о природе вообще, о чем-то общем для всех падающих предметов. Свободно падающие тела движутся все быстрее и быстрее, они ускоряются. (Это слово означает лишь «движутся быстрее», употребление его не делает наше утверждение более научным.) Какого же рода ускоренное движение они совершают?

1. Возрастает ли скорость скачкообразно? Эксперимент отвечает на этот вопрос отрицательно.
2. Возрастает ли скорость в прямой пропорции к пройденному расстоянию? Галилей путем остроумных рассуждений показал, что это весьма маловероятно.
3. Возрастает ли скорость прямо пропорционально времени?
4. Возрастает ли она пропорционально квадрату времени?
5. Или каким-то иным, более сложным образом?

Поскольку мы задаем вопрос о реальной природе, ответ на него могут дать только эксперименты. (Если вы хотите узнать, какого роста был Авраам Линкольн, вам придется узнать это у кого-нибудь, кто фактически измерял его рост. Сведения, почерпнутые из книг, бесполезны, если они не исходят первоначально из реальных измерений. Одна алгебра ничем не сможет вам помочь.) Мы могли бы отправиться прямо в лабораторию и упрямо экспериментировать, надеясь получить важный материал из множества измерений. Или же мы могли бы сначала все обдумать, высказать предположения относительно каких-то простых типов движения, рассчитать результаты для каждого ив них, а затеи проверить эти результаты в лаборатории экспериментально. Оба метода содействовали бы развитию науки.

Исследование свободного падения

Можно показать, что справедливо и обратное. Если пройденный путь s прямо пропорционален t², то ускорение постоянно. Это утверждение дает нам соотношение, которое можно проверить, исследуя реальные движения. Пусть часы отсчитывают равные интервалы времени; будем измерять расстояния, которые проходит падающее тело за промежутки времени, отсчитываемые с момента начала движения из состояния покоя и находящиеся в отношении 1 : 2 : 3… . Если проходимые телом расстояния будут находиться в отношении 1:4:9…, то движение происходит с постоянным ускорением. Или, как это делают в одном из лабораторных экспериментов, можно измерять время t для различных расстояний s, проходимых от начала движения, и проверить справедливость соотношения s = (постоянное число)•(t²) путем арифметических расчетов или построения графиков.

Свыше трех столетий назад Галилей воспользовался этим методом, хотя и не располагал ни современными часами, ни методом графического анализа. Галилей был одним из первых, кто предложил точные часы с маятником, но сам, по-видимому, не делал таких часов. Для измерения времени Галилей пользовался большим баком с водой, в котором было отверстие, откуда вода вытекала в сосуд. Он оценивал промежутки времени, взвешивая вытекшую воду,— метод грубый, но тем не менее достаточно точный для проверки установленного им закона. Свободное падение тел с высоты, доступной в то время экспериментатору, было довольно непродолжительным, и выполнить эксперимент при помощи прибора Галилея было слишком трудно. Поэтому Галилей «управлял» земным тяготением, используя наклонную доску, по которой скатывался шар. Он измерял промежутки времени, за которые шар проходил расстояния 0,5, 1 м и т.д от начала движения из состояния покоя.

На основе грубых опытов и разумных предположений Галилей пришел к выводу, что шар скатывается вниз по наклонной доске с постоянным ускорением. Считая этот вывод справедливым для любого наклона и переходя в своих рассуждениях к вертикально стоящей доске, Галилей предположил, что он будет справедлив и для свободного падения.

Представление о постоянном ускорении было высказано более ранними исследователями, но они были осмеяны. Галилей сделал все зависящее, чтобы свести к минимуму трение, угрожавшее усложнить дело, хотя мы теперь знаем, что постоянное трение не нарушает простого соотношения. Результаты Галилея были приближенными, но, по-видимому, они убедили его в правильности сделанного им предположения. Это был самый простейший доступный его представлению вид ускоренного движения, и на Галилея, вероятно, повлияла та вера, которая вдохновляла всех ученых — от греков до Эйнштейна,— вера в то, что природа в своей сущности проста.

Позднейшие эксперименты, выполненные с помощью усовершенствованной аппаратуры, подтвердили вывод Галилея. Движение происходит с постоянным ускорением, т. е. ∆υ/∆t = const во всех перечисленных ниже случаях:

1. Шар или колесо катятся по наклонной доске;
2. Тело скользит или тележка движется на колесах по гладкой наклонной доске;
3. Тело падает свободно.

Однако каждая такая экспериментальная проверка показывает лишь, что ускорение постоянно в данном конкретном случае и в продолах точности данного эксперимента. Если мы как ученые хотим поверить в то, что существует общее правило, выведенное из этих экспериментов, если мы хотим описать явление природы с помощью простого «закона», который послужит исходной точкой для новых дедуктивных выводов, то нам потребуется множество взаимно согласованных доказательств, которые явятся основой нашего вывода. Чем больше таких доказательств, чем более разнообразны они, тем лучше; ни одним нельзя пренебрегать.

Если же результаты какого-нибудь эксперимента противоречат общему правилу (а результаты некоторых экспериментов действительно ему противоречат), то их снова тщательно проверяют. Пословица «Исключение подтверждает правило», хотя часто ее понимают неправильно, превосходна с точки зрения ученого, если слову «подтверждает» придавать значение «испытывает», «проверяет». Если же слово «подтверждает» употребляется в обычном значении «показывает, что то-то и то-то правильно», то пословица лишена смысла .

Исключения вовсе не доказывают, что правило верно. Исключения заставляют подвергать правило тщательной проверке и указывают на ограничения его применения. Они заставляют задать вопрос: «Что является виной?», либо выявляют ограничения, накладываемые на правило, либо заставляют проводить эксперименты более тщательно. В любом случае правило становится более очевидным.

Таким образом, можно повторить эксперимент при самых различных начальных скоростях. Мы можем даже толкнуть тележку вверх так, чтобы, проходя первый раз мимо пункта А, она двигалась в обратном направлении; но при этом мы должны внимательно следить за знаками + и —. Измерения позволяют определить ускорение независимо от начальной скорости. Будет ли ускорение одинаково при различных начальных скоростях — это вопрос к самой природе. Чтобы ответить на него, вам придется принять участие в реальном опыте.

В условиях лаборатории вы сможете провести опыт с колесом, скатывающимся по наклонным направляющим. Измерить непосредственно ускорение или (возрастающую) скорость нелегко. Вместо этого нужно измерить расстояние, пройденное от начала движения, и время движения, а затем проверить, удовлетворяют ли обе величины соотношению

пройденное расстояние ~ (время).

Собрав надежные данные измерений, необходимо произвести проверку как арифметически, так и на графиках.

Как графический, так и арифметический способы проверки, о которых только что шла речь, трудно применить при малом количестве данных. Но это всего лишь мысленный пример: истинная проверка должна явиться результатом ваших собственных опытов.

Труды многих ученых специалистов и тех, кто просто интересуется физикой, утвердили веру в открытие Галилея: тела, свободно падающие под действием земного тяготения, и тела, скользящие или скатывающиеся вниз по наклонной плоскости под действием силы тяжести, движутся с постоянным ускорением.

Дальнейшие эксперименты показывают, что ускорение имеет одно и то же значение даже в том случае, если тело начинает движение не из состояния покоя, а получив толчок. Если в момент пуска часов тело имеет скорость υ₀, то соотношение s=¹/₂ at² уже неверно; мы должны воспользоваться в этом случае соотношением s=υ₀t+¹/₂ at². Однако ускорение а остается тем же самым. Едва ли оно могло бы быть другим: каким образом шар может «узнать», что он начал двигаться после полученного толчка, а не скатывался с большей высоты по той же самой наклонной плоскости?

Величина ускорения свободного падения

Эксперименты не просто убеждают нас в том, что ускорение постоянно, а дают его фактическое значение. Если а постоянно, то расстояние (¹/₂ a) (время)², и (расстояние)/(время)²=¹/₂ (ускорение). Таким образом, в нашем случае 0,076 и т. д. представляет собой оценки величины ¹/₂а. Отсюда получаем а = 0,152, или ²/₁₃, Но указать число ²/₁₃ недостаточно — две тринадцатых чего? Подобное число само по себе ничего не дает, если не сказано, в каких единицах оно выражено. Мы получим это число, разделив расстояние в метрах на (время)². Поскольку время измеряется в секундах, ответ должен быть в м/сек² (читается: «метр на секунду в квадрате» или «метр в секунду за секунду»).

Единицы измерения ускорения

Ускорение измеряют в единицах м/сек/сек, которые мы записываем в виде м/сек/сек, или м/сек².

Употребление слов «на» и «в»

Слова «на» и «в» нашли широкое употребление в науке. Мы употребляли их выше в значении «деленное на» или «на каждый (каждую)…», т. е. в значениях, которые они имеют в обычной арифметике. Позднее мы будем говорить об ином значении этих слов, когда они используются для словесного выражения отношения или пропорции.

В арифметике мы делим 10 центов на 5 и получаем 2 цента. Или мы делим 10 овец по 5 овец и получаем 2 отары. Мы сомневаемся в возможности делить 10 овец на 5 центов — ведь речь идет, возражаем мы, о предметах разного рода. Но иногда мы делим предметы одного рода на предметы другого рода, например, если 10 центов разделить на 5 мальчиков, то у каждого мальчика окажется в кармане 2 цента. А разделив 60 центов на дюжину апельсинов, получим стоимость каждого апельсина. В науке часто производят подобные деления, и чтобы ответ был верным, он должен содержать как число, так и единицы измерения. Если жук, двигаясь с постоянной скоростью, проползает 3 м за 2 часа, то мы можем сказать: «Если разделить 3 м на 2 часа, т. е. записать 3 м/2 часа, то получим 1,5 м в час».

Ответ показывает расстояние, которое жук проползает за каждый час, но это не означает, что жук передвигается обязательно я течение одного часа. Это применимо и к ¹/₄ часа, и к ¹/₂ часа, и к 1¹/₂ часам, а возможно, и к 2¹/₂ часам. Эта формулировка применима даже к очень коротким интервалам времени: жук может ползти с той же самой скоростью 1,5 м в час в течение нескольких секунд. Мы можем мысленно сократить интервал времени, по-прежнему считая, что жук ползет со скоростью 1,5 м в час. В пределе мы говорим, что жук обладает скоростью 1,5 м в час в некоторый определенный момент времени. 

Это уже новое представление, представление о скорости в некоторый момент времени. Мы не можем теперь делить расстояние на промежуток времени — деление нуля на нуль не имеет смысла; тем не менее спидометр будет показывать в какой-то момент времени скорость 1,5 м в час. Правда, настоящий жук передвигается то быстрее, то медленнее, но мы легко можем представить себе идеального жука, передвигающегося с постоянной скоростью. В таком случае единица «один метр в час» — это уже не результат деления, а самостоятельная величина, единица скорости изменения пути, и скорость 1,5 л в час — это скорость изменения пути, предельное значение, отмеченное в некоторый момент времени.

Математическое понятие предела появляется и в физике, и в математическом анализе. Чтобы постичь сущность понятия предел, посмотрим, чему равна сумма большого числа членов ряда: 1, ¹/₂ …. . Сумма первых двух членов равна 1¹/₂, сумма трех членов 1³/₄, десяти членов 1⁵¹¹/₅₁₂ и т. д. Сколько бы членов ряда мы ни брали, сумма никогда не будет в точности равна 2, но можно как угодно близко подойти к 2, если взять достаточно большое число членов ряда. (Заметим, что сумма всегда меньше 2 на величину, равную как раз последнему взятому члену. Поэтому эту разность можно сделать как угодно малой.) Таким образом, мы говорим, что 2 есть предел суммы большого числа членов ряда. Наклон касательной, о котором шла речь выше, тоже представляет собой предел, а именно предел наклона хорды, проходящей через две точки на графике.

До нынешнего века физики имели дело с большим числом непрерывно изменяющихся отношений, таких, как скорость, плотность, освещенность. Теперь же оказалось, что множество физических величин характеризуется скачкообразным изменением, подобным резким изменениям скорости настоящего жука; эти величины не удается непрерывно уменьшать до предельных значений. Для примера рассмотрим отношение (масса)/(объем), которое мы называем плотностью. Мы можем поделить массу большого куска алюминия на его объем или массу маленького куска алюминия на его объем и получим одинаковую плотность.

Но если мы попытаемся продолжать определять таким образом плотность, переходя ко все меньшим и меньшим количествам вещества, то, дойдя до одного единственного атома, вынуждены будем остановиться. Какие отношения физических величин можно вычислить в пределе в математическом смысле этого слова? Какие величины не обладают «атомистической» природой? Этот вопрос заслуживает внимания, и мы вернемся к нему в самом конце нашего курса. Употребляя слова «на» или «в» или знак косой черты, который их заменяет, для обозначения понятия «деленный (деленная) на» или «на каждый (каждую)», стоит подумать, что эти слова играют определенную роль в представлении об отношении.

Единицы измерения применяемые в науке

В обыденной жизни мы измеряем скорость в метрах в секунду или в километрах в час; инженеры тоже часто пользуются этими единицами. Ускорение мы выражаем в м/сек на секунду, а иногда в таких менее привычных единицах, как км/час на секунду. Однако ученые во всем мире условились применять метрическую систему единиц, и мы будем пользоваться одним из вариантов этой системы, системой метр — килограмм — секунда. В этой системе (ее называют сокращенно «системой МКС») длины и расстояния измеряются в метрах, масса вещества — в килограммах, а время — в секундах. Точная длина метра определяется длиной тщательно сохраняемого бруска из тугоплавкого металла, копии которого находятся в метрологических лабораториях всего мира.

Килограмм представлен куском из тугоплавкого металла, принятого за эталон. Метр делится на 100 сантиметров (каждый сантиметр соответствует примерно ширине пальца), а килограмм делится на 1000 граммов. Хотя во многих курсах физики применяют единицы сантиметр и грамм, мы примем новую используемую сейчас систему единиц — метр и килограмм, дабы облегчить понимание таких электрических единиц, как амперы и вольты. Метр и килограмм сокращенно обозначаются м и кг.

Таблица единиц и сокращений

	Система МКС, используемая в этой книге	Система СГС
Длина	Метр (м)	Сантиметр (см)
Масса	Килограмм (кг)	Грамм (е)
Время	Секунда (сек)	Секунда (сек)

Грамм первоначально был определен как масса одного кубического сантиметра воды. При этом плотность воды (масса/объем) приобретает удобное значение 1,00 г в 1 см³ (удобное, но чреватое недоразумениями, и его без всякого ущерба можно опустить). Плотность воды вовсе не равна 1,00 кг/м³; полый куб с внутренними размерами 1 м• 1 м• 1 м вмещает 1000 кг воды, поэтому плотность воды равна 1,00 г/см³, или 1000 кг/м³.

В нашей системе МКС скорости измеряются в метрах в секунду, а ускорения — в метрах в секунду на секунду.

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения можно измерить. Показать, что ускорение постоянно, когда тело падает все быстрее и быстрее, трудно, хотя, конечно, это можно сделать с помощью современных приборов для измерения времени; некоторые из этих приборов позволяют измерить промежуток времени с точностью до одной миллионной доли секунды. Если принять, что ускорение постоянно, то его довольно легко измерить, определив промежуток времени, за который тело проходит известный отрезок пути, и воспользовавшись соотношением s=¹/₂ at². Отсюда a=2s/t². 

Постоянное ускорение свободного падения, происходящего «под действием земного притяжения», обозначают символом g и записывают g =2s/ t². Подставляя в эту формулу полученные из опыта значения s и t, можно вычислить g. Однако сопротивление воздуха ограничивает точность полученного значения; кроме того, трудно быть уверенным в том, что мы начинаем отсчет времени именно в тот момент, когда тело начинает двигаться, а продолжительность падения тела весьма мала, поэтому такие измерения не дают точного значения g. А для решения ряда задач в физике необходимо точно знать значение g. 

Можно ли исключить влияние сопротивления воздуха? Нельзя ли наблюдать падение тела много раз, скажем, несколько тысяч раз и, измерив общее время для всех опытов, определить время одного падения с большей точностью? К этой на первый взгляд совершенно недостижимой цели приводит задуманный еще Галилеем простой опыт.

Измерения дают значение g, близкое к 9,8 м/сек². На экваторе g несколько меньше, а на Северном полюсе — несколько больше.

Сила и ускорение

Мы считаем, что на падающее тело действует сила притяжения Земли, направленная вниз; мы навиваем ее весом тела. Чтобы удерживать тело в подвешенном состоянии, мы должны создать опору, способную выдерживать полный вес тела. Перерезав веревку, на которой подвешено тело, мы считаем, что на тело по-прежнему действует его вес, однако теперь весу не противостоит натяжение веревки. Если мы предполагаем, что вес тела остается постоянным во время его падения, можно считать, что эта постоянная сила «создаст» постоянное ускорение свободного падения. Тележка скатывается по наклонной плоскости с ускорением, составляющим долю g; сила, тянущая тележку вниз по наклонной плоскости, составляет лишь долю веса тележки.

Позднее вы узнаете, чему равна эта доля; она зависит от наклона плоскости. Зная эту долю веса, можно было бы, следуя Галилею, сопоставить силу, направленную вдоль наклонной плоскости, и ускорение движения вниз по наклонной плоскости. Какое соотношение должно предположительно существовать между силой и ускорением? Первые экспериментаторы, такие, как Галилей, смогли найти соотношение, изучая падающие и скатывающиеся по наклонной плоскости тела. Мы его вскоре рассмотрим. Оно играет очень важную роль в физике и технике, и этому основному соотношению подчиняется движение звезд и поведение атомов.

Нам еще предстоит рассмотреть вопрос о силе и ускорении. В заключение выскажем некоторые сомнения. Откуда вам известен вес тела, когда тело свободно падает? Когда вы сидите на стуле, вы ощущаете поддерживающую силу со стороны стула и вам кажется, что вы чувствуете свой собственный вес. Но выпрыгнув из окна, почувствуете ли вы свой вес? Предположим, вы прыгаете из окна, а в руках держите кусок металла, причем пытаетесь взвесить его в момент падения.

Предположим на минуту, что, дабы сделать вашу временную лабораторию более удобной, вас вместе в куском металла и приспособлением для взвешивания заключили в огромный ящик и сбросили этот ящик с большой высоты, предоставив ему свободно падать. Предположим далее, что в ящике нет окон. Что произойдет с куском свинца, когда вы выпустите его из рук, находясь внутри ящика? Будет ли он падать на пол? Поразмыслив, вы придете к выводу, что земное притяжение как бы исчезнет. Скажете ли вы, что тяжесть действительно исчезла или что ваша лаборатория движется вниз с ускорением? Если нельзя сказать, в чем разница, то существует ли вообще разница? Обсуждение этих вопросов привело бы вас к теории относительности.

Статья на тему Свободное падение