Слово таганрогский или Таганрожский
Современный суффикс ск—(еск—) — ср. братский, дружеский и т. д.— в обоих вариантах восходит к старому ьск— со звуком ь перед ск, который после падения редуцированных либо исчезал (ск-), либо прояснялся в гласный полного образования (еск-).
Поэтому модель с чередованием заднеязычных и шипящих является исходной и более законной. Ведь 1) до утраты редуцированных перед гласным переднего ряда ь в суффиксе ьск- мог быть только шипящий (ср. рижьскыи, варяжьскыи и т. д.), а 2) перед вокализованным вариантом суффикса ск-, каким является морфема еск-, и сейчас возможны одни только основы с чередованием (ср. пастушеский, дружеский, пророческий и т. п.).
Форма таганрогский в качестве параллельного образования к слову таганрожский возникла значительно позже, когда в русском языке появилась возможность (и, как некоторые ученые даже утверждают, тенденция) ослабления строгости в реализации чередований.
В отдельных случаях новые формы без чередования „выжили» старые совершенно (например, петербургский, герцогский, казахский).
С другой стороны, наблюдаются пока еще и такие случаи, когда реально существует и употребляется только старая форма с чередованием (например, волжский, рижский, ляшский, норвежский).
В образованиях от географических наименований новых форм (без чередования) появляется сейчас все больше и больше.
Статья на тему Таганрогский