Двоичная система счисления

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ


Двоичная система счисленияПри вычислениях мы обычно пользуемся десятичной позиционной системой. В этой системе знаки 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые цифрами, представляют нуль и первые девять целых чисел. Десять обозначается двумя цифрами 1 и 0 и является основанием системы. Каждая цифра представленного ряда имеет различную значимость в зависимости от ее позиции или места в числе. Например, в числе 345,2: справа от запятой, две десятых — 2•10-1; слева от запятой — пять единиц — 5-10°; четыре десятка — 4 • 10и три сотни — 3 • 102. Следовательно, все число представляется так:

345,2 = 3 • 102 + 4 • 101 + 5 • 100 + 2 • 10-1 единиц.

Рис. 16-10. Двоичное счисление при работе на конторских счетах

Если представить себе счетчик любой системы, то он в каждом разряде должен быть способным принимать девять различных устойчивых положений. Для ЦВУ оказалась удобной система с основанием 2, называемая двоичной, при которой имеются только две цифры 0 и 1. Когда в первом (правом) разряде вместо единицы должно появиться два (2), то двойка переносится в виде единицы (1) в старший разряд, а в младшем ставится

Такой счет получается, если пользоваться счетами, имеющими на каждой спице только по две костяшки (рис. 16-10).

Ниже приведены несколько чисел, написанных в двоичной системе:

1 — один 1011 — одиннадцать
10 — два 1100 — двенадцать
11 — три 1101 — тринадцать
100 — четыре 1110 — четырнадцать
101 — пять 1111 — пятнадцать
110 — шесть 10000 — шестнадцать
111 — семь 0,1 — половина
1000 — восемь 0,01 — четверть
1001 — девять 0,001 — восьмая
1010 — десять 0,11 — три четверти

Таким образом, число двоичной системы 1011,1 представляет: справа от запятой, одна половина— 1•2-1 и слева от запятой одна единица — 1-20, одна двойка — 1•21, нуль четверок — 0•22 и одна восьмерка—1•23, т. е. (1011,1)2 = 1•23+0•22+1•21+1•20+1•2-1= (8 + 0 + 2 + 1 + 0,5= 11,5)10. Индексы 2 и 10 обозначают основание системы.

Передача двоичного числа серией импульсовКак можно видеть, в этом случае наличие цифры в каждом разряде (1) или отсутствие ее (0) может характеризоваться счетчиками релейного типа, управляемыми импульсами: включено — выключено,есть сигнал напряжения — нет сигнала, намагничен участок магнитной ленты — не намагничен и т. д.

Например, двоичное число 10111 может быть передано сигналами (импульсами) напряжения, показанными на рис. 16-11. Этот принцип и применяется в ЦВУ. Недостаток двоичной системы; в большом количестве разрядов счетчика по сравнению с системой десятичной, но он искупается большей простотой всего ЦВУ в целом. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и обратно производит само

ЦВУ.

Рис. 16-11. Передача двоичного числа серией импульсов.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ

Большое достоинство двоичной системы в простоте арифметических действий с числами, которые производятся так же, как и в десятичной системе. Сложим два числа, изображенные слева в десятичной системе, а справа — в двоичной..

В десятичной системе при сложении 5 + 9 единица (т. е. один десяток) переносится в старший разряд (десятков) и прибавляется к числам десятков 2 + 1. Точно так же и в двоичной системе: две единицы первого (правого) разряда дают двойку, которая, как единица, переходит в разряд двоек, а в сумме первого разряда получается нуль. Две единицы (двоек) второго разряда дают в сумме четверку, которая, как единица, переносится в разряд четверок. Сумма в разряде двоек равна нулю, а в разряде четверок — единице и т. д.

При вычитании в десятичной системе из разряда десятков пришлось занимать единицу и разность равна шести. При двоичной системе, в случае необходимости, из старшего разряда приходится занимать двойку, четверку и т. д. В первом разряде разность равна нулю. Во втором разряде из занятой двойки вычитается единица и в разности остается единица. В третьем разряде остается единица, а в четвертом и пятом нули.

В ЦВУ вычитание обычно заменяется сложением с числом, записанным обратным кодом, т. е. когда единицы числа заменены нулями,-а нули — единицами. При десятичной системе это делается так: уменьшаемое 25 складывается с числом, дополняющим вычитаемое до числа, выраженного единицей с нулями (100—19 = 81), и в сумме отбрасывают единицу высшего разряда. Ответ получается шесть, как и при вычитании.

В двоичной системе к числу 11001. прибавляется число 10011, записанное обратным кодом, т. е. число 01100. Далее, единица старшего разряда суммы переносится в младший разряд и прибавляется к нему. Ответ получается тот же, что и при вычитании. Все это выполняет самостоятельно арифметическое устройство ЦВУ. Таблица умножения в двоичной системе необычайно проста:

0.0 = 0; 1.0 = 0.1 = 0; 1.1 = l.

Таким образом, при умножении на единицу множимое число переписывается в соответствующий разряд, а при умножении на нуль производится сдвиг влево на один разряд. Все умножение сводится к сдвигу умножаемого числа на один разряд и сложению, что и выполняет арифметическое устройство.

Деление сводится к многократному вычитанию делителя из делимого и дополнению получаемого остатка справа

т. е. 56 : 8 = 7.

Так как умножение заменяется многократным сложением, деление — многократным вычитанием, а вычитание может быть заменено сложением, то все арифметические действия сводятся к сложению.

ПРИНЦИП РАБОТЫ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЦВУ

Все ЦВУ состоит из устройств: запоминающего, управления, арифметического и др., а каждое из них из отдельных типовых элементов, называемых ячейками. Каждая ячейка выполняет определенные действия и, будучи включена определенным образом в общую схему, пропускает или задерживает посланный импульс усиливает его или сдвигает на разряд и т, д.

Данное состояние ячейки определяется высоким или низким уровнем напряжения, подаваемого на нее, наличием или отсутствием импульса напряжения или использованием импульсов двух полярностей. В ЦВУ используются приборы с односторонней проводимостью, электронные и полупроводниковые диоды и триоды.

Эти приборы в дальнейшем изображаются так, как показано на рис. 16-12. Прибор пропускает ток, когда потенциал анода выше потенциала катода (сопротивление прибора мало) и запирается при обратной полярности напряжения (сопротивление прибора очень большое).

а) Клапан или вентиль

Условное изображение вентиляРис. 16-12. Условное изображение вентиля.

Клапан (вентиль) показан на рис. 16-13. Само название показывает, что он предназначен для задержки или пропуска импульса напряжения. Действительно, если на верхнюю точку входа подан прямоугольный импульс положительной полярности, то через вентиль пойдет ток от анода к катоду и через электрические цепи управляющего входа, не показанные на рисунке, к заземлению. Сопротивление rвелико, а сопротивление вентиля ничтожно и можно считать, что все напряжение падает на сопротивлении rСледовательно, потенциал анода, а значит, и выход схемы почти не отличается от потенциала земли. Поэтому считают, что на выход импульс не передался (на выходе нуль). Если одновременно с импульсом на входе подать на управляющий вход положительный импульс такой же величины или большей, чем на входе, то вентиль запрется. Ток в сопротивлении r будет равен нулю,

а потенциал выхода равен потенциалу входа, т. е. положительный импульс передан на выход (единица). Этот механизм работы осуществляется во всех схемах с вентилями, приведенных ниже.

Рис. 16-13. Схема работы клапана.

б) Схема совпадения

Схема совпадения (условное обозначение И) показана на рис. 16-14. При появлении положительного импульса на анодах вентилей через них проходит ток. На сопротивлении падает почти все напряжение и импульс на выход не передается (нуль). Если подать положительный импульс на один из входов AБ и В, дело не меняется, так как ток будет проходить через два других вентиля. Положительный импульс (единица) передается на выход только в том случае, когда одновременно все три вентиля заперты положительными импульсами на управляющих входах AБ и В почему и схема называется схемой совпадения.

Схема работы клапанав) Собирательная схема

Рис. 16-14. Логическая схема совпадения.

Собирательная схема (условное обозначение ИЛИ) показана на рис. 16-15. При подаче положительного импульса, хотя бы на один из входов А, Б, В, через сопротивление будет протекать ток. Так как внутреннее сопротивление вентилей ничтожно, то все падение напряжения сосредоточено на сопротивлении r, а верхняя точка его и, значит, верхняя точка выхода будут точкой высокого потенциала (единица). Схема потому и называется собирательной, что собирает

импульсы (единицы), поступающие с разных направлений. Одновременно она при подаче положительного импульса на один из входов, например А, запирает высоким потенциалом два других входа Б и В.

г) Схема инвертора

Логическая схема совпаденияРис. 16-14. Логическая схема совпадения.

Схема инвертора (условное обозначение НЕ) показана на рис. 16-16. При отсутствии сигнала (нуль) на входе триод заперт отрицательным напряжением смещения Ес. Потенциал верхней точки выхода равен потенциалу положительного зажима источника анодного напряжения Еа, т. е. на выходе единица. При появлении положительного импульса на входе (сетке) триод проводит ток и напряжение нижней точки сопротивлений r, т. енавходе резко падает (нуль). Таким образом, входной сигнал — единица преобразуется в сигнал — нуль.

Из схем основных схем формируются все более сложные схемы ЦВУ. В дальнейших схемах заземляющая их часть для простоты не показывается.

д) Цепочка клапанов

Цепочка клапанов с одним управляющим входом показана на рис. 16- 17. Импульсы с входов на выходы могут быть переданы только в том случае, когда на управляющий вход подан импульс, Запирающий вентили. Если этого импульса нет, то при положительных импульсах на входах через вентили проходит ток и благодаря большому падению напряжения на сопротивлениях r потенциал анодов и выходов близок к нулю.

Логическая схема собирательная

Рис. 16-15. Логическая схема собирательная.

е) Схема сдвигателя

Схема сдвигателя на один разряд дана на рис. 16-18. Как было показано выше, при умножении на единицу в двоичной системе само множимое число записывалось в соответствующий разряд, а при умножении на нуль это же число записывалось со сдвигом на один разряд. Операцию сдвига и выполняет сдвигатель.

Если высокий потенциал существует только на входах цифр, а на шинах I и II такого потенциала нет, то токи проходят через диоды 1,2,8,4и потенциалы на выходах очень малы (сигналов нет). При подаче положительного импульса на шину I запираются диоды 1 и 2; импульсы проходят через диоды и на средний и правый выходы. Диод 7 заперт высоким потенциалом левого входа. Если подать импульс на шину II, то запираются диоды 3 и 4Через диоды 5 и 7 импульсы передаются на левый и средний выходы (сдвигаются влево), а диод блокирован высоким потенциалом.

ж) Электронный триггер

Рис. 16-16. Логическая схема инвертора.

Схема инвертора

Электронный триггер или электронное реле является наиболее важным элементом ЦВУ. Он собирается из двух триодов или одного двойного триода, как показано на рис. 16-19. Особенность этого реле в том, что устойчивое состояние его будет только тогда, когда через одну половину лампы, например правую, ток проходит, а через другую — левую, нет, и наоборот.

Предположим невозможное, что через лампы Л1 и Лпроходят равные токи. Пусть под влиянием ничтожнейшего, случайного изменения сопротивления в цепи лампы Л1 ток ее возрос. Тогда потенциал точки 1 уменьшится, ток делителя r5r6 уменьшится, потенциал точки 2, а значит, напряжение на сетке лампы Л2 упадет и ток в ее анодной цепи уменьшится. При этом увеличится потенциал точки 3, а следовательно, и напряжение на сетке лампы ЛгВ результате этого ток в анодной цепи лампы Л1 лавинообразно нарастает, а лампы Л2 — падает. Таким образом, триггер за микросекунды приходит в такое состояние, когда лампа Л1 проводит ток (триод открыт), а лампа Л2 — заперта. Если подать положительный импульс на вход 2 или отрицательный на вход 1то мгновенно лампа Л1запирается, а лампа Л2 — открывается.

Рис. 16-17. Цепочка клапанов с одним управляющим входом.

Схема триггера применяется в запоминающих устройствах и служит для запоминания только одного разряда числа.

Цепочка клапанов с одним управляющим входомОна может быть выполнена и на полупроводниковых триодах. Емкости, включенные параллельно сопротивлениям r3r5 служат для ускорения переброса триггера, так как, представляя в этот момент очень малые сопротивления, они шунтируют большие сопротивления r3 и r5.

ПРИНЦИП РАБОТЫ ДВОИЧНОГО СЧЕТЧИКА

Как было сказано выше, триггер служит для запоминания одного разряда числа двоичной системы и фиксирует наличие цифры в разряде (единица) или отсутствие ее (нуль). Таким образом, количество триггеров равно количеству разрядов числа. Цепочка триггеров для запоминания одного числа называется регистром.

На рис. 16-20 показана схема работы двоичного счетчика на три разряда — три последовательно соединенные триггера. Пусть триггеры № 7, №2, №3, показанные в верхнем ряду, находятся в таком состоянии, когда проводит ток их левая часть (заштриховано) и не проводит — правая. Это состояние принято за нуль и число, записанное триггерами, 000. На вход триггера № 1 приходит серия равномерно следующих импульсов.

Рис. 16-18. Схема сдвигателя на один разряд. 

Схема сдвигателя на один разрядПервый из них произведет переброс триггера в обратное состояние (1), что показано стрелкой → слева направо, на второй строке на рис. 16-20. На счетчике записано число 001. Второй импульс производит обратный переброс триггера № 1, справа налево, при котором проводит левая половина (0), но при этом перебросе триггер выдает свой импульс триггеру 2, в котором произойдет переброс слева направо. Таким образом, записано число 010.

При третьем импульсе на входе триггера № 1 происходит запись еще единицы —001; при четвертом прибавляется еще единица, а так как переброс был справа налево, то происходит передача импульса на триггер № 2. Переброс последнего был справа налево, следовательно, триггеру № 3 передается импульс уже с триггерами. Число, записанное на счетчике, равно 100, и т. д. Восьмой импульс произведет сброс всего числа. Таким образом, трехразрядный счетчик записывает числа от 0 до 7 десятичной системы.

ПРИНЦИП РАБОТЫ СУММАТОРА АРИФМЕТИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА

Предположим, что следует сложить два двоичных числа А = 1110 и Б = 1101. Сложение производится последовательно, разряд за разрядом, как при обычном счете.

Схема триггераРис. 16-19. Схема триггера.

При сложении чисел первого разряда 0+1 в сумме получается 1; так же и при сложении чисел второго разряда 1 + 0 получается 1. При сложении чисел третьего разряда 1 +1 получается 2 . Следовательно, двойка, как единица, переносится в четвертый разряд или, как мы говорим, (единица вуме). Эта единица поставлена в строке переноса П, над числом А, Складывая четвертый разряд, получаем 3; половина двойки, т, в/1, идет и сумму Са единица переноса переходит в сумму пятого разряда, где

С П + А + Б = 1 + 0 + 0 = 1

Очевидно, устройство для суммирования — сумматор пpи последовательном суммировании, как это делалось, должен иметь два входа для чисел А и Б, вход для переноса П, выход для суммы С и выход для числа П, переносимого в следующий разряд. Блок-схема такого устройства, состоящего из запоминающего блока, однозарядного сумматора и устройства задержки (для переноса) на один разряд, показана на рис. 16-21.

Рис. 16-20. Работа двоичного счетчика.

Работа двоичного счетчикаСхема работы сумматора (рис. 16-22), осуществляется при помощи логических схем ИИЛИНЕ. Для простоты все устройства заземления, формирования импульсов, усиления их на рис. 16-22 не показаны. При разборе схемы необходимо вспомнить следующее.

Так как все схемы И, кроме И1, присоединены к положительному зажиму источника энергии Еа, то через сопротивления этих схем и внутреннее сопротивление источников сигналов проходит ток. Отрицательный зажим источников заземлен. Потенциал анодов этих схем невысок, так как значительная часть напряжения падает на сопротивлениях r. Импульсы высокого потенциала на анодах появляются только в те моменты, когда на все катоды приходят положительные импульсы напряжения, способные запереть вентили. Только тогда положительные импульсы схем И передаются дальше.

Через схемы ИЛИ положительный импульс проходит, если он подается хотя бы к одному аноду вентиля.

Схема НЕ заперта отрицательным потенциалом на сетке лампы. При этом потенциал ее анода высок, так как в ее анодном сопротивлении r ток не протекает. Этим потенциалом нормально заперт вентиль И1и только в этом состоянии через его сопротивление г может пройти положительный импульс на выход С.

При появлении положительного импульса напряжения на сетке лампы она пропускает ток, потенциал на ее аноде падает и схема И1 открывается. В этом случае потенциал анода вентиля И1 при поступлении импульса от схемы ИЛИ1 будет низким, так как ток проходит через лампу схемы НЕПотенциал выхода С тоже, будет низким.

Блок-схема работы сумматораРис. 16-21. Блок-схема работы сумматора.

Теперь можно рассмотреть процесс сложения двух предложенных выше чисел. Триггеры регистра суммы С запоминающего устройства (рис. 16-21) перед началом операции сложения ставятся на нуль. Устройство управления посылает периодически импульсы, которыми и управляется схема. За каждый период складываются цифры одного разряда.

В течение первого импульса из запоминающего устройства (рис. 16-21) выбираются цифры младшего разряда А = 0 и Б = 1. Другими словами, на вход Б сумматора (рис. 16-22) поступает импульс положительного потенциала, а на входе А его нет. Тогда импульс проходит схему ИЛИ 1, сопротивление r схемы И 1, ИЛИ 2на выход Сив младшем разряде регистра запоминающего устройства суммы С триггер перебрасывается в положения 1. Вторым импульсом из запоминающего устройства выбираются цифры А = 1 и 5 = 0. Импульс через вход (рис. 16-22) проходит схему ИЛИ 1, И1, ИЛИ2 и попадает на выход С. Триггер второго разряда запоминающего устройства перебрасывается в положение 1 (рис. 16-21).

Схема работы сумматораРяс. 16-22. Схема работы сумматора.

Третий импульс выбирает из запоминающего устройства цифры А = 1 и Б = 1 и на входе сумматора АБ получаются положительные импульсы. Тогда запирается схема И2 и выдает положительный импульс на схему ИЛИ3Импульс проходит на схему задержки Я и на сетку лампы схемы НЕ. Лампа отпирается и начинает проводить ток. Диод схемы И 1 отпирается, импульсы А и Б через схему ИЛИ 1 и схему И 1 проходят через лампу схемы НЕ. Потенциал анода схемы И1 низкий и на выход С через схему ИЛИ 2сигнал не поступает. Триггер третьего разряда С запоминающего устройства остается в положении 0.

Импульс напряжения на линии задержки задерживается до момента суммирования цифр четвертого разряда. Это равносильно тому, как человек держит единицу «в уме». Об устройстве линии задержки (З)будет сказано ниже.

В четвертый такт сложения, два импульса АБ и импульс Я, выходящий из линии задержки, запирают схемы И2, И3, И4которые через схему ИЛИ3 выдают второй импульс на схему задержки и схему НЕ. В этом случае, как уже указывалось, схемы ИЛИ 1 и И не выдают импульса на выход С. Однако поскольку схема И 5 заперта высоким потенциалом входа АБ и первым импульсом схемы задержки П, то потенциал ее анодов становится высоким и через схему ИЛИ 2 на выход, в запоминающее устройство поступает импульс высокого напряжения. Происходит переброс триггера четвертого разряда в положение 1.

При пятом такте импульсы АБ отсутствуют, но возникший импульс переноса при суммировании предыдущего разряда через линию задержки схемы ИЛИ 1, И 1, ИЛИ 2 выдается на выход С в пятый разряд сумматора. Триггер этого разряда записывает 1. Таким образом, просуммированы числа 1110 + 1101 = 11011 или в десятичной системе 14 + 13 = 27.

Устройство акустической линии задержкиНа рис. 16-23 показан один из способов устройства линии задержки, Он основан на акустическом принципе. В стальную трубку 1, заполненную ртутью 2, вставлены две пластины из кварца 3, при помощи резиновых колец 4. Кварц имеет способность изменять свой объем при помещении его в изменяющееся электрическое поле. Если на вход одной пластинки подать импульс напряжения, то он вызовет механические колебания самого кварца и ртути в трубке, которые, с определенной скоростью, будут переданы другой кварцевой пластинке на выходе. Эти механические колебания кварц способен переобразовывать в электрические колебания на выходе. Скорость прохождения механических колебаний в ртути неизмеримо меньше скорости распространения электрических импульсов и поэтому электрический импульс передается с задержкой. Время задержки обычно составляет микросекунды. Меняя длину трубки, можно изменять время задержки.

Рис. 16-23. Устройство акустической линии задержки.

Статья на тему Двоичная система счисления