Кристаллографические символы

Что такое кристаллографические символы Закон рациональных отношений

Многообразие внешнего облика кристаллов, встречающихся в природе, обусловлено различными сочетаниями, или комбинациями, простых форм.

Определив элементы симметрии кристалла, количество простых форм и вид симметрии кристалла, не всегда получают однозначное представление о кристалле.

Один класс симметрии может включать в себя несколько различных по внешнему виду кристаллов.

Например, кристаллы кварца могут встречаться в виде гексагональной дипирамиды или комбинации гексагональной дипирамиды с гексагональной призмой.

Разные по внешнему виду оба кристалла имеют одинаковую формулу симметрии:

L⁶6L²7PC.

То же можно сказать о кристаллах циркона.

Все четыре формы относятся к одному и тому же виду симметрии тетрагональной сингоний:

L⁴4L²5PC.

А кристаллы под номерами 4 и 5 даже состоят из одних и тех же простых форм — двух тетрагональных призм и тетрагональной дипирамиды.

Таким образом, определение вида симметрии или даже наличие стереографической проекции кристалла не всегда дает нам однозначное представление о внешнем облике кристалла.

Для более точной характеристики кристалла определяют взаимное расположение его граней в пространстве по отношению к определенным координатным осям и некоторой исходной грани.

Для определения грани применяются так называемые кристаллографические символы.

Понятие о кристаллографических символах вытекает из второго закона кристаллографии, открытого в 1784 г. французским исследователем Р. Ж. Гаюи.

Этот закон называется законом рациональных отношений или законом параметров, именуемым также законом целых чисел.

Закон рациональных отношений гласит: положение всякой грани может быть определено тремя целыми числами.

Если за оси координат выбраны направления трех ребер кристалла и за единицы измерения взяты отрезки, отсекаемые на этих осях одной из граней кристалла.

Нередко дается и другая формулировка данного закона — «двойные отношения параметров (отрезков), отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся его ребрах, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел» .

Возьмем три непараллельных ребра кристалла, пересекающихся в точке О, и обозначим их ОХ, ОУ, OZ. Выбранные три ребра примем за координатные оси (рис.).

Покажем три грани кристалла, пересекающие координатные оси:

R₁m₁n₁, R₂m₂n₃ и R₃m₃n₂

Отрезки, отсекаемые этими гранями на осях, называются параметрами граней. Например, для грани R1m1n1 параметрами являются OR1, Om1 и Оn1.

Примем параметры этой грани за единицы измерения по соответствующим осям (Ok₁ — по оси X, Om₁ — по оси Υ, Оn₁ — по оси Z). В этом случае параметры остальных граней кристалла будут рациональными числами.

Выбранная грань называется единичной гранью, а ее параметры — осевыми единицами. Эти осевые единицы взяты за единицы измерения — единичные отрезки.

Следует иметь в виду, что эти параметры могут быть не равны друг другу (например, на рис. у грани k1m1n1 параметры ОƦ₁≠Оm₁≠Оn₁).

Положение данной грани обозначается символом (111). Символ обозначает, что грань отсекает по каждой оси по одной осевой единице.

В кристаллографии принято так располагать кристаллографические оси:

X — на себя — положительное значение, от себя — отрицательное;

Υ — вправо — положительное значение, налево — отрицательное,

Z — вверх — положительное значение, вниз — отрицательное.

Осевые единицы обозначают: по X — а, по Υ — b, по Z — с.

Выбор единичной грани задаст масштаб по каждой оси. В нашем случае при выбранной единичной грани K₁m₁n₁ ее параметрами будут а, b, с.

Положение грани Ʀ₂m₂n₃ определится параметрами 2а, 2b, 3с, для грани Ʀ₃m₃n₂ — 3а, 36, 2с.

Чтобы представить положение каждой грани в пространстве, следует знать (помимо направления осей), как параметры, задающие масштабы по разным осям, относятся друг к другу.

В общей форме отношение параметров любой грани можно выразить как ра:qb : rc, где р, q и r — целые числа.

Для каждого определяемого кристалла необходимо выбрать направление кристаллографических осей и одну из наклонных к ним граней в качестве единичной грани. Эту операцию называют установкой кристалла.

Иногда при установке кристалла некоторые грани оказываются параллельными одной или двум координатным осям.

В этом случае их параметры по данным осям будут равны бесконечности (∞). Для примера обозначений граней кристалла приведем куб с указанием символов всех его граней (рис. 2).

При описании кристаллов и определении символов получают для каждой простой формы или комбинации простых форм совокупность символов многих граней.

Например, для куба символы всех его шести граней: (100), (010), (001), (100),(010) и (001).

Принято для обозначения каждой простой формы брать символ одной из ее граней, для которой характерно наибольшее количество положительных индексов.

Таблица 3 Символы простых форм кубической сингонии
Название простой формы	Символ	Количество граней
Гексаэдр (куб) Октаэдр Тетраэдр Ромбододекаэдр Пентагон-додекаэдр Тетрагексаэдр Гексоктаэдр	{1 0 0} {1 1 1} {1 1 1} {1 1 0} {h Ʀ 0} {h Ʀ 0} {h Ʀl}	6 8 4 12 12 24 48

Такие символы, условно относящиеся к той или иной простой форме, принято заключать в фигурные скобки.

В нашем случае для куба, являющегося простой формой, вместо приведенных выше шести символов употребляют лишь один символ {100}.

В табл. 3 приведены символы наиболее распространенных простых форм кубической сингонии.

Установка кристаллов. Константы кристаллической решетки

Для построения наглядных стереографических проекций и определения символов граней кристаллов разных сингонии применяют установку кристаллов.

Под установкой кристаллов понимают выбор определенных направлений за координатные оси и одной из наклонных к ним граней кристалла за единичную.

Обычно координатные оси проводятся параллельно ребрам и часто по осям симметрии кристалла и называются кристаллографическими осями.

При установке кристаллов и выборе координатных осей следует иметь в виду, что углы между кристаллографическими осями могут отличаться от 90° в зависимости от принадлежности кристалла к той или иной сингонии.

Принято осевые углы обозначать буквами греческого алфавита: а (угол между осями Y и Z), р (угол между осями X и Z) и у (угол между осями X и Y) (рис. 3).

Отношение осевых единиц а : b : с и осевые углы α, β и γ называются константами данной кристаллической решетки.

К наиболее простой относится установка кристаллов высшей категории — кубической сингонии (см. рис. 2).

Здесь кристаллографические оси устанавливаются вдоль осей симметрии четвертого порядка или, в случае их отсутствия, по осям второго порядка.

Все три кристаллографические оси будут взаимно перпендикулярны, т. е. α=β=γ=90°.

Константы кристаллической решетки  Таб. 3
Сингонии	Осевые единицы	Осевые углы
Кубическая Гексагональная Тригональная Тетрагональная Ромбическая Моноклинная Триклинная	α=b = С α= b≠с α=b≠с α =b≠с α≠b≠с α≠b≠с α≠b≠с	α = β = γ = 90° α= β = 90 ° γ= 120° α= β = 90°γ = 120° α = β = γ = 90° α =β = γ = 90° α = γ= 90°β≠90° α ≠ р ≠ β≠90°

За единичную грань принимают грань тетраэдра или октаэдра, символ которых будет (1 1 1).

Осевые отрезки, отсекаемые на кристаллографических осях, равны между собой: α=b = с.

Ось Z располагается вертикально, оси X и Z — горизонтально.

Причем положительное значение оси X направляется на наблюдателя, положительное значение Y — слева направо.

В триклинной сингонии кристаллографические оси проводятся параллельно трем произвольно выбранным ребрам, ее лежащим в одной плоскости (рис. 45, 1).

За единичную грань берут любую грань, пересекающую координатные оси. У нас получается косоугольная система координат, где α≠β≠γ≠90°, а осевые единицы: α≠b≠с.

В моноклинной сингонии ось У проводится параллельно оси второго порядка, а при ее отсутствии — перпендикулярно к плоскости симметрии. Ось Z проводится вертикально и перпендикулярно к оси Y.

Ось X проводится перпендикулярно к оси Y, положительный конец оси X направлен на наблюдателя и наклонен вниз (рис. 4,2).

Здесь мы имеем: α=γ=90°, β≠90°, α≠b≠с. За единичную грань принимают любую грань, пересекающую все три кристаллографические оси.

В ромбической сингонии кристаллографические оси проводятся через три взаимно перпендикулярные оои симметрии второго порядка.

При наличии одной оси симметрии второго порядка через нее проводят ось Z. Две другие оси в этом случае проводятся перпендикулярно к плоскости симметрии.

За единичную грань принимают любую грань, пересекающую все три кристаллографические оси. При установке кристалла ось X направляют на наблюдателя, ось Y— слева направо (рис. 4,3).

Для ромбических кристаллов α=β=γ=90°, следовательно, это прямоугольная система координат, α≠b≠с— все отрезки, отсекаемые на осях, разные.

В тетрагональной сингонии ось Z проходит вдоль оси четвертого порядка, X и Y взаимно перпендикулярны друг другу и оси Z и располагаются вдоль осей второго порядка (рис. 4,4).

Если осей второго порядка нет, то оси X и У проводятся перпендикулярно к вертикальным плоскостям симметрии или параллельно ребрам кристалла.

Следует иметь в виду, что в тетрагональной сингонии при наличии 4-х осей второго порядка выбор положения осей X и Y не однозначен.

Так как их можно провести через любую пару осей, проходящих через середины противоположных ребер или через середины противоположных граней тетрагональной призмы.

В тетрагональной сингонии α=β=γ=90°, а=b≠с. Единичная грань отсекает равные отрезки на горизонтальных осях и пересекает вертикальную ось.

В гексагональной и тригональной сингониях применяют систему координат с четырьмя кристаллографическими осями: Помимо осей X, Y, Z используется дополнительная ось U.

Она проводится в одной плоскости с осями X и У под углом 120° к ним (рис. 4, 5, 6). Ось Z устанавливают соответственно .вдоль оси шестого или третьего порядков.

Остальные оси проводятся вдоль осей второго порядка, если их нет — перпендикулярно к плоскостям симметрии или параллельно трем ребрам кристалла.

Расположенным под углом 60° друг к другу и перпендикулярным к оси Z. Единичная грань отсекает на двух горизонтальных осях равные отрезки и пересекает ось Z.

Следует отметить, что единичная грань либо параллельна одной горизонтальной оси, либо отсекает на ней отрезок вдвое меньший, чем на двух других горизонтальных осях.

Для гексагональной и тригональной сингонии: α=β = 90°, γ = 120°, а=b≠с.

Для кристаллов тригональной сингонии возможна и другая установка, когда за координатные оси выбирают три ребра ромбоэдра или пирамиды. В этом случае α = β = γ=90°, a=b = c.

Символы граней в гексагональной и тригональной сингониях будут состоять из четырех индексов.

Индекс по оси X (первой кристаллографической оси) обозначается h, по У (второй кристаллографической оси) —Ʀ, по U (третьей кристаллографической оси) —i, по Z (четвертой кристаллографической оси)— l.

Таким образом, символ грани данных сингонии в общей форме выразится (hƦil).

Следует отметить, что индекс i может быть вычислен по формуле i= — (h+Ʀ), т. е. равен сумме индексов по первым двум осям с обратным знаком.

Статья на тему Кристаллографические символы