Сложные электрические цепи
Существует большое число методов расчета сложных цепей. С одним из них — методом наложения. Второй метод, метод узловых и контурных уравнений, основан на применении первого и второго правил Кирхгофа.
Для расчета сложной электрической цепи задается схема цепи, величины э. д. с. и полярность источников, а также сопротивления всех участков цепи. В результате расчета необходимо найти величины и направления токов на всех участках цепи.
Для составлений уравнений по правилам Кирхгофа, кроме заданных величин, необходимо знать направления токов на всех участках цепи. Направлениями токов можно задаться произвольно, показав их стрелками на отдельных участках цепи. Если в результате решений уравнений будет найдено, что какой-либо ток будет иметь отрицательное значение, то это будет обозначать, что действительный ток имеет направление, противоположное выбранному.
Число составленных уравнений должно быть равно числу неизвестных токов. Число составленных узловых уравнений должно быть на единицу меньше числа узлов заданной цепи. При составлении контурных уравнений следует выбирать наиболее простые контуры, в каждом из которых должен содержаться хотя бы один участок цепи, не входивший в ранее составленные уравнения.
Рис. 1-13. Цепь с двумя узлами.
Падению напряжения Ir приписывается знак «+», если направление тока в сопротивлении совпадает с направлением обхода контура. Если направление тока противоположно направлению обхода, то падению напряжения приписывается знак «—».
Пример 1-13. Определить токи I1, I2 и I3 (рис. 1-12), если Е1 = 123 в; Е2 = 115 в; r1 = 0,15 ом; r2 = 0,5 ом; r3 = 12 ом.
Выберем произвольно направления токов на всех участках цепи. Они указаны на рис, 1-12.
Составим три уравнения, одно по первому правилу Кирхгофа и два — по второму правилу Кирхгофа.
Первое уравнение составляем для точки В:
I1 + I2—I3 = 0. Второе уравнение составим для контура ЛБВЖЗДА:
E1 = I1r1 + I3r3 Третье уравнение — для контура ДГВЖЗД:
E2 = I2r2 + I3r3 Подставив в два последних уравнения числовые значения, получим:
123 = 0,15I1 + 12I3
115 = 0,5I2 + 12I3.
Подставив в последнее уравнение ток I2 = I3 — I1 получим:
115 = 0,5I3 — 0,5I1+ 12I3 = — 0,5I1 + 12,5I3
Умножив уравнение на 0,3 и сложив с уравнением, получим:
34,5 = — 0,15I1 + 3,75I3
123,0 = 0,15I1 + 12,0I3
157,5 = 15,75I3
откуда
I3 = 157,5 : 15,75 = 10a
Напряжение между точками Ж и 3:
UЖЗ = I3r3 = 10 • 12 = 120 в;
I1 = (E1 — UЖЗ) : r1 = (123 — 120) : 0,15 = 20a
I2 = (E2 — UЖЗ) : r2 = (115 — 120) : 0,5 = -10a
Знак минус у тока I2 показывает, что действительное направление этого тока противоположно указанному на рис. 1-12 и что, следовательно, источник E2 работает в режиме потребителя.
Третий метод расчета сложных цепей — метод узлового напряжения. Он применяется для расчета цепей, имеющих два узла (рис. 1-13). Примем за положительное направление токов в ветвях направление от узла А к узлу Б. Напряжение между узлами Б и Л, называемое у з ловым напряжением, равно разности потенциалов
U = φБ—φА
По закону Ома ток в первой ветви
I1=(E1 — U) : r1 = (E1-U)g1
где r1 и g1 — сопротивление и проводимость первой ветви,
включая генератор. Для второй ветви
I2 = (E2 — U) : r2 = (Е2 — U)g2
Для третьей ветви
По первому правилу Кирхгофа для точки Б можно написать:
I1 + I2 + I3 = 0
Подставив в последнее уравнение выражения для токов ветвей, получим:
(E1 — U)g1 + (E2—U)g2 + (-U)g3=0.
Раскрывая скобки, найдем узловое напряжение:
U = (E1g1 + E2g2) : (g1 + g2 + g3)
Таким образом, узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений э. д. с. на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей.
Если одна из э. д. с. направлена от узла Б к узлу А, то в формуле она подставляется со знаком минус.
Определяя узловое напряжение по формуле, можно определить и токи в ветвях, так как
I1 = (E1 — U)g1
а
I2 = (E2 — U)g2
Мы рассмотрели цепь с тремя ветвями, аналогично можно рассчитывать цепи с любым числом ветвей.
Статья на тему Сложные электрические цепи