Бесконечная геометрическая прогрессия

 Теория:

Если знаменатель геометрической прогрессии r меньше единицы то по мере увеличения n величина rn уменьшается.

В этом случае выражение можно написать так:

Если взять n достаточно большим, то величина (arn)/1 — r может быть сделана как угодно малой.

Следовательно, при большом числе членов ряда, сумма их S может отличаться от a/(1 — r) на величину, меньшую какого угодно наперед заданного малого числа.

Указанное свойство бесконечной геометрической прогрессии обозначается таким образом:

Это и есть предел суммы членов геометрической прогрессии при r меньшем единицы и бесконечно большом числе членов.

 Пример решения:

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 8, 2, 1/2;

Сумму бесконечной геометрической прогрессии найдем по формуле рис. 2. (В задаче в явном виде указано, что мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией.)

a = 8, r = 2/8 = 1/4

S = (8 /(1 (1/4)) = (8 x 4)/3 = 32/3 = 10(2/3)

Ответ: 10(2/3)

Статьи по теме

  1. Геометрическая прогрессия (пример решения) Теория: Геометрическая прогрессия представляет собой ряд чисел, каждое из которых, за исключением первого, получается из предыдущего путем умножения на постоянную...
  2. Бесконечные ряды (пример решения) Теория: Бесконечные ряды. Ряд есть совокупность членов, образованных по определенному закону. Рассмотрим ряды, где число членов неограниченно. Такие ряды называются...
  3. Джон Непер (логарифм, число отношения) Теория: Джон Непер  ( John Napier 1550—1617), сравнивая арифметическую и геометрическую прогрессии, нашел, что между членами этих двух рядов существует...
  4. Среднее геометрическое Теория: Среднее геометрическое между двумя числами равно корню квадратному из их произведения или: где а и b — данные числа. Пусть среднее...
  5. Закон сложных процентов Теория: Закон сложных процентов. Пусть Р — вложенный капитал; r — размер процентов. В конце первого года прибыль равна Рr, а самый капитал...
  6. Арифметическая прогрессияТеория: Арифметической прогрессией называется ряд, каждый член которого, за исключением первого, получается из предыдущего путем прибавления к нему постоянного количества....