Отношение и пропорция

  Теория:

Частное, полученное при делении одного числа на другое, называется отношением.

Отношение а к b есть a/b или а : b.

Так как отношение имеет вид дроби, то все правила, касающиеся дробей, могут быть применены и к отношениям.

Равенство двух отношений называется пропорцией.

Например:

2/3 = 4/6

или

a : b = c : d

суть пропорции.

Математика отношения и пропорции

Первый и четвертый члены ее называются крайними, а второй и третий — средними членами.

Если второй и третий члены равны, то каждый из них является средним пропорциональным между первым и четвертым членами:

а : b = b : с,

откуда

b = √(ас).

Если:

ad = bc,

Часто вместо выражений „двучлен», „трехчлен», „многочлен» употребляют греческие названия их: (бином, трином, полином.)

то:

a : b = c : d

d : a = d : c

a : c = b : d

c : a = d : b.

Taк как в каждом из этих случаев произведение крайних равно произведению средних или ad = bс, то любая пара членов может служить крайними, а другая пара — средними членами пропорции.

  Практика:

Пример решения отношения и пропорции

Докажем, что (a + b) / (a — b) = (c + d) / (c — d), если a / b = d / c.

Так как ad = bc или bc = ad, то, умножая на 2, получим:

2bc = 2ad.

Последнее равенство можно переписать так:

bc + bc  = ad + ad.

Перенося члены, имеем:

bc — ad = ad — bc.

Прибавляя к обеим частям равенства ас — bd, получим:

ас + bc — ad — bd = ас — bc + ad — bd,

откуда:

с(а + b) — d(a + b) = c(a — b) + d(a — b)

или, выноса за скобки общие множители, (a + b) (c — d) = (a — b) (с + d)

Делим обе части на (а — b) (с — d):

((a + b) (c — d)) / ((a — b) (с — d)) = ((a — b) (с + d)) / ((a — b) (с — d))

или

(a + b) / (a — b) = (c + d) / (c — d)

Если ad = bc, то подобным же образом можно доказать справедливость следующих пропорций:

(a + b) / b = (c + d) / d;

(a + b) / a = (c + d) / c;

(a — b) / b = (c — d) / d;

(a — b) / a = (c — d) / c;

(a + c) / (a — b) = (b + d) / (b — d);

(a + b) / (a — b) = (c + d) / (c — d).

Произведения соответствующих членов двух или более пропорций также составляют пропорцию.

Если:

a / b = c / d

и

m / n = p /q,

то

(am) / (bn) = (cp) / (dq).

Умножение или деление обоих членов отношения на одно и то же число не изменяет величину отношения:

a / b = (am) / (bm).

Если а : b = с : d, то та : mb = nc : nd или

(a / m) : (b /m) = (c / n) : (d / n).\

Если четыре числа составляют пропорцию, то их одинаковые степени, а также корни одной и той же степени из них составляют пропорцию.

При a : b = c : d, справедливы пропорции:

aⁿ : bⁿ = cⁿ : dⁿ

и

a^1/n : b^1/n = c^1/n : d^1/n.

Ряд пропорций

В случае ряда пропорций:

a : b = c : d = e : f = g : h сумма первых (предыдущих) членов относится к сумме вторых (последующих) так же, как каждый ив предыдущих относится к своему последующему:

(a + c + e + g) / (b + d + f + h) = a / b = c / d = и так далее.

или, если

a / x = b / y = c / z = r (постоянное отношение),

то

((a + b + c + • • •) / (x + y + z + • • •)) = r

Если задача требует нахождения двух чисел, которые относятся друг к другу как т : п, то рекомендуется представлять эти неизвестные в виде тх и пх.

Если a : b = b : с = c : d, то b = ³√(a²d ) и с = ³√(ad ²).

Обе эти величины являются средними геометрическими между а и d.