Иррациональные уравнения

Теория:

Уравнения  в которых переменная содержится под знаком квадратного корня, называются  иррациональными.

Иррациональные уравнения преобразуются в рациональные путем возвышения обеих частей в одинаковую степень. Последняя зависит от высшей степени корня в данном уравнении.

Если в первоначальном уравнении имеется только один радикал, то рекомендуется перенести все рациональные члены в одну часть равенства, а радикал оставить в другой, после чего производить возвышение в степень пример № 1.

При извлечении корня из обеих частей уравнения следует принимать во внимание и тот и другой знак.

Если имеем х — 2 = 4, то было бы неправильным считать, что √(х — 2) = 2, и пренебрегать значением корня

-√(х — 2) = 2.

Необходимо рассматривать оба случая, т. е. следует писать ±√(х — 2) = 2.

Если мы решаем иррациональное уравнение, то нам не приходится извлекать квадратный корень, так как это действие уже произведено и указан знак радикала.

Так например, в уравнении √х — 2 = х + 17 дан один случай, в уравнении же ±√(х — 2) = х + 17 требуется рассмотреть оба случая.

Если задано уравнение:

√(а + х) + √(а — х) = √2х

то имеется в виду только положительное значение корня, в уравнении же:

±√(а + х) + √(а — х) = √2х — оба значения.

Необходимо помнить, что в выражении √(а — х) самый радикал считается положительным, т. е. имеем:

— ( +√(а — х)).

Решая вышеуказанный пример:

√(а + х) + √(а — х) = √2х ,

имеем после возвышения в квадрат:

а + х + 2√(а² — х²) + а — х = 2х √(а² — х²) = х — а.

Возвышая в квадрат вторично, получим:

а² — х³ = х² — 2ах + а² 2х² — 2ах = 0 2х (х — а) = 0 х = 0 или а.

Подстановка обоих корней в уравнение показывает, что х = а удовлетворяет ему, а корень х = 0 не удовлетворяет.

В самом деле:

√(а + 0) + √(а — 0) ≠ √(2 • 0)

Если бы мы взяли отрицательное значение корня √(а — 0), равное — √а , то уравнение удовлетворялось бы значением х = 0.

Полученный результат следует понимать так, что √(а — 0) означает + √(а — 0), а потому корень х = 0 должен быть отброшен.

Возвышение в квадрат обеих частей иррационального уравнения равносильно умножению на величину, содержащую неизвестные, вследствие чего получаются посторонние корни.

  Пример решения:

Пример № 1.

1 + √х = 5

√х = 4

х = 16.

Если бы мы извлекли корень квадратный из обеих частей уравнения

х — 2 = 4, то получили бы

±√(х — 2) = 2

или

√(х — 2) = 2 и √(х — 2) = — 2

Пример № 2.

Найти корни уравнения:

√(х — 2) = х — 4.

Возвышаем уравнение в квадрат:

х — 2 = х² — 8х + 16.

Перенося члены и упрощая полученное равенство, имеем:

х² — 9х = -18.

Решая уравнение, получаем корни

х = 6 или 3.

Корень х = 6, как это легко проверить подстановкой, удовлетворяет уравнению, а корень х = 3 — посторонний.

Если бы рассматривать отрицательное значение радикала или — √(х — 2), то корень х = 3 обращал бы уравнение в тождество.

Так как в задаче указано лишь положительное значение радикала, то посторонний корень х = 3 должен быть отброшен.

Если в иррациональном уравнении имеются дробные члены, то до возвышения в степень следует упростить дробь или уничтожить иррациональность знаменателя.

Некоторые особые приемы решения

Пример № 1.

Решить уравнение:

2√(х² — 9х + 18) — √(х² — 4х — 12) = х — 6.

Разложим подкоренные количества на множителя:

2√((х — 3)(х — 6)) — √((х + 2)(х — 6)) = х — 6,

2√(х — 3) • √(х — 6) — √(х + 2)√(х — 6) = √(х — 6) • √(х — 6),

√(х — 6)((2√(х — 3) — √(х + 2) — √(х — 6)) = 0.

Приравнивая множитель √(х — 6) нулю, найдем один из корней. Он равен х = 6.

Кроме того:

2√((х — 3) — √(х + 2) = √(х — 6)

Возвышаем это уравнение в квадрат:

4х — 12 — 4√((х — 3)(х + 2)) + х + 2 = х — 6

-4√(х² — х — 6) = 4 — 4х

√(х² — х — 6) = х — 1

Возвышаем вторично в квадрат:

х² — х — 6 = х² — 2х + 1

откуда

х = 7.

Подстановкой значений х = 6 и х = 7 убеждаемся, что оба корня удовлетворяют уравнению.