Уравнение, содержащее дробь с неизвестным в знаменателе, называется дробным уравнением.
Обычный метод решения таких уравнений заключается в том, что их сперва упрощают, а затем умножают каждый член на общее наименьшее кратное знаменателей для того, чтобы избавиться от последних.
Общее наименьшее кратное, как и всякий множитель, содержащий неизвестное, может вызвать получение корней, не принадлежащих данному уравнению.
Такие корни называются посторонними. Их можно найти, приравняв множитель нулю и решив относительно х полученное уравнение.
Для выяснения, которые из полученных корней являются посторонними, следует подставить все найденные корни в данное уравнение.
Если некоторые из них не удовлетворяют ему, то их следует отбросить.
Пример № 1.
Найти значение х из уравнения:
Упрощая, имеем:
Умножая все члены уравнения на 150х, т. е. на общее наименьшее кратное знаменателей, получим:
5 -100х -1 -15х = 125х
240х = 4
х = 1/60
Корень 1/60 удовлетворяет уравнению.
Пример № 2.
Найти величину х из уравнения:
3/(х2 — 25) + 1/(х + 5) = 2/(5 — х)
Член 2/(5 — х) можно написать в таком виде:
-(2/х — 5)
что не изменит его величины.
Умножая все члены уравнения на общее наименьшее кратное знаменателей, т. е. на х2 — 25, имеем:
Сокращая, находим:
3 + х — 5 = -2(х + 5) = -2х — 10
3х = -8
х = -(8/3)
Полученный корень удовлетворяет заданному уравнению, в чем можно убедиться подстановкой.