Поэтому алгебраические записи Декарта мало чем отличаются от современных. Однако он еще не распространил свое обозначение степеней на любые дробные и отрицательные показатели,— это сделал Ньютон (1676). Для обозначения корней с целым положительным показателем, большим двух, Декарт ставил показатель или первую букву его названия перед под радикальным выражением, объединенным нередко горизонтальной чертой сверху и обособленным скобкой или точкой, вроде √(са3 — а3 + аbb).
Это нововведение, именно применение черточки, вскоре было подхвачено. Современная удобная форма 3√, 4√ и т. д., которую предложил еще Жирар (1629) и которая применялась, правда, непоследовательно, Ньютоном и Лейбницем, окончательно закрепилась в первой половине XVIII века.
Следует отметить, что буквенные знаки данных величин сами по себе у Декарта означали только положительные величины, и для выражения отрицательных величин он присоединил знак «минус», а когда это был коэффициент неизвестного знака, то ставил перед ним точки.
Употребление букв со знаком «плюс» впереди для выражения как положительных, так и отрицательных чисел впервые встречается в труде Гудде, помещенной во втором латинском издании «Геометрии» 1659-1661 pp. Знак равенства, предложенный Декартом, имел вид ». До начала XVIII века. он был распространен во Франции и Голландии, но потом его везде вытеснил символ Рекорд.
Преимущества декартовой символики обеспечили ее безусловную победу, но на первых порах применялись и различные другие системы обозначений.
Основные теоремы алгебры Декарт изложил в третьей книге «Геометрии». Многие из них встречались у его предшественников, особенно Так, Жирара и Гарриота, но большая их часть является его собственностью, и именно изложение Декарта, который применял новую замечательную символику и терминологию и предоставил всем формулировкой максимальной простоты, стал отправным пунктом дальнейшего развития алгебры.
Теорию алгебраических уравнений Декарт начинает с принципиально важного предостережения, что их целесообразно рассматривать с правой частью, равной нулю. Затем он переходит к составлению многочленов перемножением линейных двочленів вида х ± а и формулирует основную теорему такими словами: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины, сколько она имеет измерений», а чуть дальше он добавляет, что «хотя всегда можно представить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням».
Отдельно указано, что левая часть уравнения делится на двочлен х ± а, где ± а есть корень; это позволяет снизить степень уравнения, если известен корень,— прием, которым пользовался еще в 1567 г. П. Нуньес (1492-1577).
Вслед за этим следует «правило знаков» Декарта для определения числа положительных и отрицательных корней по знакам коэффициентов уравнения. Ньютон несколько уточнил формулировку этого правила, и мы приведем это правило так, как он его высказал: если среди корней уравнения нет «невозможных» (мнимых — отв. ред.), то положительных корней столько, сколько в последовательности коэффициентов перемен знаков от «плюса» к «минусу» — или от «минуса» к «плюсу»; остальные — корни отрицательные.
Правило Декарта положило начало целой серии исследований о распределении корней алгебраических уравнений, имеющих важные применения (например, в теории устойчивости). Доведение правила, приведенного в «Геометрии» без заключения, предложил в 1728 г. профессору Геттингене и Галле Йогам
Андреас Зегнер (1704-1777), изобретатель так называемого зегнерового колеса — простейшего типа гидротурбины, а затем и другие математики.Доказательства эти основываются на рассмотрении изменений в чередовании знаков коэффициентов во время умножения левой части на двочлен х ± а (этим же руководствовался, видимо, сам Декарт). К тому же кругу вопросов относятся и замечания Декарта об определении границ действительных корней, спричинилось в многочисленных дальнейших исследований.
Наряду с проблемой распределения корней в «Геометрии» поставлено вторую фундаментальную проблему сводности, то есть розкладності целого многочлена с рациональными (в частности, целыми) коэффициентами на аналогичные сомножители более низких степеней.
Так Декарт рассмотрел вопрос, когда корни кубического уравнения с целыми коэффициентами и старшим из них, который равен 1, строятся с помощью циркуля и линейки (то есть разрешимое уравнение в квадратных радикалов),— вопрос, который интересовал еще Хайяма. Декарт пришел к выводу, что это возможно в том и только в том случае, когда уравнение имеет целый корень, то есть сводное.
Для разрешимости теми же средствами уравнений четвертой степени должна решаться в квадратных радикалов его кубическая резольвента (срок Эйлера). (Определенными преобразованиями решения уравнения 4-ой степени можно свести к решению некоторого кубического уравнения. Последнее и называется кубічною резольвентою уравнения 4-ой степени).
Доказательство неразрешимости циркулем и линейкой неприводимых уравнений третьей степени опубликовал ровно через 200 лет преподаватель Политехнической школы в Париже П. Л. Венцель (1814-1848). Проблему сводности глубоко исследовали Ньютон, Эйлер, Лагранж, Гаусе и много других ученых.
Общим методом решения алгебраических уравнений у Декарта была все-таки геометрическая построение их корней, которую все его предшественники применяли лишь в отдельных случаях, а он оригинально распространил на исследование действительных корней уравнений любой степени. В математике Декарт геометрическое построение корней стала своего рода эквивалентом основной теоремы алгебры в ее тогдашнем формулировке; вместе с тем она могла сыграть роль универсального метода приближенного графического решения уравнений.
Взаимодействие алгебры и геометрии здесь выступает особенно отчетливо. Прежде всего действительные корни квадратных уравнений можно построить с помощью пересечения окружности и прямой. Это дает возможность построить по какой-нибудь данной координатой любую точку кривой второго порядка: когда задают одну координату, вторая оказывается корнем квадратного уравнения. А поскольку можно построить множество сколь угодно близких точек кривых второго порядка, то эти линии, с точки зрения Декарта, оказываются допустимым средством дальнейшего анализа.
Затем корни уравнения третьей и четвертой степеней строят с помощью пересечения окружности и параболы, а это в силу тех же соображений позволяет найти бесконечное количество точек кривых третьего и четвертого порядков, которые, в свою очередь, становятся допустимыми в дальнейших конструкциях. Далее Декарт строит корни уравнений пятого и шестого степеней с помощью круга и кривой третьего порядка, которая теперь носит название парабола Декарта или трезубца Ньютона. Именно уравнения вида
y6 — py5 + qy — ry3 + sy2 — ty + ы = 0
развязывается с помощью круга
и кривой
причем
Далее, говорит Декарт, нужно лишь идти тем же путем. Иначе говоря, корни уравнений степени n > 3 каждый раз строятся с помощью двух кривых порядка ниже n. Возможность нахождения бесчисленного количества произвольных точек кривой Декарт считал достаточной, чтобы использовать эту линию для построений; он также считал, и вполне правильно, что все точки любой дуги «геометрической» кривой могут быть описаны движением шарнирных механизмов (теорема Кемпе), а это обеспечивало непрерывность линий.
Однако основная линия развития алгебры шла в направлении ее автономной, независимой от геометрии построения.
Статья на тему Алгебра Декарта