Преобразование уравнений

  Теория:

Решение посредством преобразования уравнений. Многие системы уравнений могут быть легко решены посредством нахождения величины для каждых двух выражений:

x + y, x — y, xy.

а равно и других функций х и у, из которых можно получить значения этих неизвестных.

  Практика:

Пример решения преобразованием уравнений

Пример № 1. Найти корни уравнений

                          (2)

Умножая (2) на 4 и вычитая ив (1), имеем:

Решаем сначала относительно функции (х — 2у), а затем относительно х и у.

Пример № 2. Решить систему

Складывая (1) к (2), находим:

х³ + 2xy + y² = 16.

Вычитая (2) ив (1):

x² — y² = 8 (4)

Извлекая квадратный корень из (3):

х + у = ± 4.

Разделив (4) иа (5), находим:

x — y = ± 2

Из (5) и (6):

х = 3 или — 3, у = 1 или — 1.

Первое значение х — у соответствует только первому значению x + у.

Следовательно, для х и у имеется только две пары значений.

Иногда применяются специальные способы решений, при которых сперва находят величины выражений:

√(xy), √(x + y), 1/x, 1/y, xy, (x + y), (x + y)²,  x²y и т. д.,

после чего определяют х и у.

В некоторых случаях оказывается удобным вводить новые переменные, например √ (ху) = u и т. д.

Наиболее обычны подстановки:

x = u + υ, у = u — υ, y = υx.