Однородные квадратные уравнения

  Теория:

Однородные квадратные уравнения это уравнения, все члены которых имеют один и тот же порядок (одно и то же измерение) по отношению к содержащимся в них неизвестным.

Общая форма однородного квадратного уравнения такова:

(ур-ние 1) Ах² + Вху + Cy² = 0

Уравнения этого вида всегда могут быть разложены на множители.

Деля на Ах² и дополняя до квадрата, получим:

Извлекая квадратный корень, имеем (ур-ние 2):

Интересно отметить, что отношение неизвестных в ур-нии [2] имеет ту же величину, что и корни уравнения ах² + bx + c = 0, написанного в явной форме.

Выражение [2] можно представить в таком виде (ур-ние 3):

Теперь линейные уравнения можно получить посредством прямой подстановки значений коэффициентов уравнения [1] в [3].

Уравнение [1] может быть написано в виде произведения двух множителей:

Множители, на которые разлагается трехлен [1], могут быть получены решением ур-ния [1] относительно — Линейные уравнения представляются в виде:

Если одно из двух квадратных уравнений, входящих в систему, однородно, то система решается посредством разложения на множители однородного уравнения.

  Практика:

Пример решения однородных квадратных уравнений

Решить систему:

x² — 3y² + 2y = 3     (a)

2x² — 7ху + 6y² = 0. (б)

Уравнение (б) принадлежит к виду [1], а потому может быть разложено на множители.

Имеем:

А = 2, В = — 7, С = 6.

Подставляя в [3], получим:

x — ((7 + √(49 — 4 • 2 • 6)/(2 • 2)) y = 0 .

x — 2y = 0 или х = 2у.

Кроме того:

x — ((7 -√(49 — 4 • 2 • 6)/(2 • 2))y = 0.

x — (3/2)y = 0 или  x = (3/2)y.

Подставляя значение х = 2у и х =  (3/2) y уравнение (а), имеем:

x = 2, -6, 2 + √-5, 2 — √ -5.

y = 1, -3, (4 + 2√ -5)/3, (4 — 2√ -5)/3.