Страницы 4 5 6 7 8 · · ·  21

Сростки и двойники

Одиночные кристаллы в природе наблюдаются редко. Обычно они встречаются в виде сростков, которые могут состоять из двух, трех и большего числа кристаллов. Наиболее часто встречается срастание кристаллов в виде друз и щеток (см. рис. 5, 46).

Параллельные сростки кристаллов кварца

Рис. 31. Параллельные сростки кристаллов кварца

В таких группах кристаллы располагаются на общем основании и срастаются в случайных положениях в зависимости от условий образования.
Помимо случайных срастаний наблюдаются и закономерные сростки. Закономерные сростки двух или нескольких кристаллов называют параллельными сростками (кварц, берилл), если соответствующие грани у всех сросшихся кристаллов параллельны друг другу (рис. 31).
В том случае когда один из сросшихся кристаллов является зеркальным отображением другого или может быть получен из другого кристалла путем поворота на 180° вокруг некоторой оси, именуемой двойниковой осью, сросток называется двойником (см. рис. 4). Двойники бывают двух видов: двойники срастания (см. рк. 4 — гипс) и двойники прорастания (см. рис. 22 — пирит, торианит, флюорит, рис. 32 — ставролит). При определении симметрии двойниковых сростков следует иметь в виду, что симметрия у двойников будет отличаться от симметрии отдельных кристаллов, так как при срастании появляются новые элементы симметрии.

Двойники прорастания ставролита

Рис. 32. Двойники прорастания ставролита

Среди сростков кристаллов нередко наблюдаются также тройники, четверники и т. д., называемые по числу сросшихся кристаллов. Наличие сростков характерно для ряда минералов, поэтому сростки нередко являются хорошим диагностическим признаком минералов. Примерами могут служить двойники гипса (см. рис. 4), имеющие форму ласточкина хвоста, крестообразные двойники ставролита (от греч. «ставрос»— крест) (рис. 32, двойники флюорита, алмаза и др.).

Стереографические проекции кристаллов

В кристаллографии для пространственного изображения изучаемых кристаллов, их элементов симметрии и элементов ограничения используются различные проекции. Наиболее часто применяются стереографическая | (от греч. «стереос» — пространственный, объемный) и гномостереографическая (от греч. «гномон» — перпендикуляр) проекции.
Для построения проекции кристалла последний помещается в центр шаровой сферической поверхности. Грани и ребра кристалла продолжаются до пересечения с шаровой поверхностью и изображаются так: грани — в виде дуг, ребра — в виде точек. Такая проекция получила название стереографической. Для более наглядного изображения кристаллов используют гномостереографическую проекцию. В данном случае проектируется не грань, а перпендикуляр к ней, проекции ребер заменяются нормальными к ним плоскостями. При гномостерео-графическом проектировании грани дают на сфере точки, а ребра —дуги.

Рассмотрим принципы построения стереографической проекции и простейшие случаи стереографического проектирования кристаллов. Возьмем шаровую поверхность произвольного диаметра с центром О (рис. 33). Точка О — это центр проекций, а шаровая поверхность — шар проекций. Проведем через центр проекций плоскость Q, называемую плоскостью проекций. При пересечении сферической поверхности получается круг проекций. Он соответствует экватору шара и является большим кругом (в отличие от малых кругов, получающихся при пересечении шара плоскостями, не проходящими через его центр). Плоскость проекций разделила шар на северное и южное полушария, или на верхнюю и нижнюю полусферы. Вертикальный диаметр NS называется осью проекций. Точка N— северный полюс, точка S — южный полюс. Одну из этих точек, обычно южный полюс, выбирают за точку зрения.

Для изображения стереографической проекции направления или плоскости необходимо перенести их параллельно самим себе до прохождения их через центр проекций (точка О). Например, направление OA дает при пересечении его со (Сферой точку а1. Соединив проекцию направления АО на сферической поверхности, т. е. а1 с точкой зрения S лучом зрения Sa1, получаем па горизонтальном диаметре точку а, являющуюся стереографической проекцией направления OA на плоскости. Если какое-либо направление пересекает нижнюю (южную) полусферу, за точку зрения принимают северный полюс. Итак, проекции направлений изображаются точками.

Схема построения стереографических проек­ций

Рис. 33. Схема построения стереографических проек­ций направления и плос­кости

Плоскость Р при пересечении шаровой поверхности дает дугу ВСК, являющуюся дугой большого круга. Соединим все точки дуги лучами зрения с южным полюсом. Получаем из множества лучей проектирующий конус, который при пересечении с плоскостью проекций даст дугу КМВ. Эта дуга, опирающаяся на концы диаметра, есть стереографическая проекция плоскости Р. Имеется

теорема, согласно которой стереографическая проекция круга представлена также кругом. Таким образом, стереографические проекции плоскостей изображаются круговыми дугами.
Рассмотрим теперь, как проектируются кристаллы методом стереографических проекций. Возьмем какой-либо кристаллический многогранник и совместим центр его, например центр тяжести, с точкой О, являющейся центром проекций. Произвольным радиусом опишем вокруг данного центра сферическую поверхность — шар проекций (рис. 34). Рассечем шар проекций горизонтальной плоскостью проекций Q, проходящей через точку О. Спроектируем грани кристалла сначала на шаровую поверхность, а затем на плоскость проекций. Для этого из центра проекций О на грани кристалла опустим перпендикуляры и продолжим их до пересечения с шаровой поверхностью.

Гиомостереографические проекции граней

Рис 34. Гиомостереографические проекции граней А, В, С, Е (I) и изображение этих проекций на плоскости Q (II,
вид сверху)

На рис. 34 для иллюстрации построения взяты четыре грани: А, В, С и Е. На сферической поверхности мы получим четыре точки: для грани А—а1 для грани B—b1, для грани С—С1 и для грани Е—e1. Далее перенесем все найденные точки на горизонтальную плоскость проекций. Принимаем южный полюс шара S за точку зрения и соединяем ее лучами зрения со всеми четырьмя точками, расположенными на сфере. Получаются новые четыре точки, лежащие на плоскости Q, — а, b, с и e2. Эти точки — стереографические проекции нормалей соответствующих граней кристалла на горизонтальную плоскость. Такие проекции называются гномо-стереографическими (греч. «гномон» — перпендикуляр). Из построения, приводимого на рис. 34, I, видно, что
гиомостереографические проекции граней изображаются в виде точек. Эти точки располагаются внутри круга проекций, если нормали к граням пересекают верхнюю полусферу (грани А, В и С). Если пересечение шара
происходит в нижней полусфере (например, нормаль к грани Е дает точку е1), то проекция точки на горизонтальную плоскость располагается за кругом проекций.

Условные обозначения элементов симметрии на стереографической проекции

Рис. 35. Условные обозначения элементов симметрии на
стереографической проекции:
1—ось симметрии второго порядка; 2— ось симметрии третьего порядка; 3— ось симметрии четвертого порядка; 4— ось симметрии шестого порядка; 5 — инверсионная ось четвертого порядка; 6•— инверсионная ось шестого порядка; 7 — плоскость симметрии; 8 —
центр симметрии

Чтобы избежать этого неудобства, за точку зрения в данном случае принимают северный полюс N. Тогда проекция и для грани Е оказывается внутри круга проекций (рис. 34, точка е). Для отличия проекций граней, нормали к которым пересекают верхнюю полусферу, от нормалей к граням, пересекающих нижнюю полусферу принято: первые обозначать на плоскости кружочками, вторые — крестиками (рис. 34, II).
Таким образом, при проектировании горизонтальных граней их проекции попадают в центр круга проекций (грань А, рис. 34), проекции вертикальных граней изображаются на большом круге проекций (грань С, рис. 34), наклонные грани проектируются внутри круга проекций (грани В и Е, рис. 34).
Следует иметь в виду, что чем круче наклон грани к оси проекций, тем ближе ее проекция к кругу, чем положе — тем ближе ее проекция к центру проекций О.

При построении стереографической проекции кри­сталл для его более полного отображения практикует­ся нанесение на проекцию элементов симметрии данного кристалла.Условились элементы симметрии изображать следующими значками (рис. 35). Характер обозначений понятен из приводимого рисунка. Пояснение следует дать
Стереографические проекции элементов симметрии и граней кристаллов

Рис. 36. Стереографические проекции элементов симметрии и гра­ней кристаллов: а —куб (3L44L36L29PC); б — тетрагональная дипирамида- (L4L25PC)

к изображению плоскости симметрии на проекции. Как видно на рис. 35, плоскость симметрии изображается двумя параллельными линиями. В том случае если плоскости симметрии перпендикулярны к плоскости чертежа, они рисуются двумя параллельными прямыми, проходящими через центр проекции. Если плоскости наклонны или горизонтальны, они изображаются двумя параллельными дугами (рис. 36).
Поскольку на проекции будут изображены как грани, так и элементы симметрии кристалла, а точки проекций могут совпасть, не следует значки элементов симметрии рисовать мелкими или затушевывать их середину. Например, проекции верхней и нижней граней куба, изображаемые соответственно кружочком и крестиком, совпадают с осью симметрии четвертого порядка, изображаемой квадратиком. На проекции это изобразится квадратиком с нарисованными внутри него кружочком и крестиком (рис. 36, а). Проекции боковых граней так-же совпадают с осями четвертого порядка и изображаются кружочками, расположенными внутри квадратиков
(рис. 36, а).
При проектировании элементов симметрии кристаллов следует иметь в виду, что вертикальные и наклонные оси изображаются одним значком, горизонтальные— двумя значками, симметрично расположенными на противоположных сторонах диаметра. Так, на рис. 36, а одна ось четвертого порядка, расположенная вертикально к плоскости чертежа, показана одним квадратиком (в центре), то же можно сказать и об оси четвертого порядка на рис. 36, б; четыре оси третьего порядка на левом рисунке расположены наклонно, следовательно, они изображены четырьмя треугольниками. На рис. 36, б 4 оси второго порядка расположены горизонтально, поэтому каждая ось обозначена двумя эллипсами.

При составлении стереографической проекции кристалла важно правильно расположить его внутри сферы. Об этом подробно будет сказано в конце данной главы. Здесь кратко скажем о наиболее удобном расположении кристаллов различных сингонии внутри шара при составлении стереографических проекций.
Кристаллы кубической сингонии располагают так, чтобы перпендикулярно плоскости чертежа находилась одна из осей четвертого порядка, при отсутствии таковых (например, в 28 виде симметрии кристаллов, см. табл. 1) такое же положение должна занять ось второго порядка.
При проектировании кристаллов средней категории перпендикулярно плоскости чертежа устанавливается ось шестого порядка (гексагональная сингония), ось четвертого порядка (тетрагональная сингония) или ось третьего порядка (тригональная сингония).
В кристаллах ромбической сингонии ось второго порядка также располагается перпендикулярно плоскости чертежа, в моноклинной сингонии — ось второго порядка устанавливается параллельно плоскости чертежа, а плоскость симметрии — перпендикулярно к ней. В триклинной сингонии, где нет осей и плоскостей симметрии, установка кристалла более или менее произвольна. Рекомендуется для удобства проектирования возможно большее количество граней кристалла устанавливать вертикально.

Решение кристаллографических задач с помощью сетки Г. В. Вульфа

Методы построения простейших стереографических проекций кристаллов не претендуют на высокую точность, а преследуют цель наглядного условного отображения элементов симметрии и граней кристаллов.
В ряде случаев для изображения кристаллов и решения кристаллографических задач требуются более точные
построения. Для этих целей используются специальные стереографические сетки.
Рассмотрим устройство стереографической сетки и познакомимся с методикой решения задач с помощью одной из таких сеток, называемой сеткой Г. В. Вульфа. При гониометрическом измерении кристалла получают для каждой грани две сферические координаты: φ—долготу иρ — полярное расстояние, дающие точное расположение грани в пространстве. Долгота может иметь значение от 0 до 360°, полярное расстояние — от 0 до 180°.
Представление о точном расположении точек можно дать, используя метод, аналогичный применяемому в географии и астрономии. Там, как нам известно, положение любой точки определяется на глобусе и фиксируется двумя координатами — долготой и широтой. Поверхность глобуса покрыта сетью линий — параллелей и меридианов, которые позволяют находить положение точки.

Измерение сферических координат

Рис. 37. Измерение сферических координат точки а1;
φ — долгота; ρ — полярное рас стояние

Таким же способом в кристаллографии определяются координаты точек. На поверхность шара наносится сеть вспомогательных параллелей и меридианов. Используя градусную сетку, получают две координаты точки, нанесенной на сфере. Одна из координат, обозначаемая греческой буквой φ , отвечает географической долготе, отсчитываемой от выбранного нулевого меридиана. Иными словами, долготу определяет угол между плоскостью I левого меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через заданную точку (рис. 37). Вторая координата в кристаллографии называется полярным расстоянием (ρ) и в отличие от географической широты отсчитывается от полюса (рис. 37). Полярное расстояние измеряется углом между полюсом шара и данной точкой, т. е. ρ является относительно географической широты дополнительным углом до 90°.
При гониометрическом измерении кристалла долгота отсчитывается по вертикальному кругу гониометра, полярное расстояние — по горизонтальному лимбу.
Наиболее широкое применение в кристаллографии получила стереографическая сетка Г. В. Вульфа. Сетка

Стереографическая сетка Г. В. Вульфа

Рис. 38. Стереографическая сетка Г. В. Вульфа

Г.В. Вульфа представляет собой проекцию дуг меридианов и параллелей на плоскость меридиана. Точка зрения помещается на экваторе и на сетке совмещается с центром проекций. Стереографическая сетка имеет диаметр 20 см и цену деления 2°. Каждый десятый градус для удобства отсчета выделяется жирной линией (рис. 38).
Для решения кристаллографических задач с помощью сетки Г. В. Вульфа используют лист кальки, соответствующий формату сетки. Лист кальки накладывают на сетку Вульфа и в центре ее наносят точку и четыре
черточки в виде креста. Черточки не доходят до точки и не пересекаются. Черточки проводят по горизонтальному и вертикальному диаметрам сетки и при начале работы с сеткой совмещают их с диаметрами, а точку — с центром проекций. С правой стороны кальки за концом горизонтального диаметра сетки проводят на кальке черточку за кругом проекций (рис. 39). Данная черточка будет в дальнейшем соответствовать нулевому значению долготы и даст начало отсчету ее в направлении по часовой стрелке по кругу в интервале от 0 до 360°. Центральная точка кальки соответствует 0° ρ. Полярное расстояние отсчитывается от этой точки по любому концу диаметра в направлении большого круга проекций, где ρ = 90°, и обратно в направлении центральной точки, если полярное расстояние более 90° (до 180°). Таким образом, любая точка, расположенная на большом круге проекций, будет иметь ρ = 90°. Если точка расположена в центре кальки, то полярное расстояние может быть равно нулю или 180°.
Следует иметь в виду, что при решении задач все построения производятся только на кальке. Перед началом работы на кальке наносят вышеуказанные обозначения, а также отмечают 0°ρ вблизи центра и 0°φ рядом с нулевой риской. Приведем примеры решения некоторых кристаллографических задач с помощью сетки Вульфа .

Задача 1.

Построить стереографическую проекцию направления, заданного координатами φ и ρ.
Дано некоторое направление А со сферическими координатами;

Лист кальки, подготовленный к работе с сеткой Вульфа

Рис, 39. Лист кальки, подготовленный к работе с сеткой Вульфа:
стрелкой показано направление отсчета долготы; через кальку просвечивают круг проекции и диаметры сетки

φ=165° и ρ = 68°.
Требуется найти стереографическую проекцию этого направления. Задача решается следующим образом;
1. Накладывают кальку на сетку Вульфа, совмещают центр кальки с центром сетки, а нулевую риску (0° φ) — с правым концом горизонтального диаметра сетки Вульфа.
2. От нулевой риски отсчитывают по часовой стрелке по кругу проекций 165° и отмечают вспомогательной черточкой-риской (рис. 40).
3. Вращением кальки совмещают найденную риску с концом ближайшего диаметра сетки (центр кальки придерживают остро заточенным карандашом в совмещенном положении с центром сетки).
4. По данному диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной черточки отсчитывают полярное расстояние — 68° и отмечают найденную точку кружочком.
5. Возвращают кальку в исходное положение и обозначают кружочек буквой а. Найденная точка является стереографической проекцией направления А.
Такое построение используют при нанесении стереографической проекции нормали к грани, или, как говорят, гномостереографической проекции грани. Аналогичный метод применяется при построении ребра или оси симметрии кристалла. В случае если полярное расстояние какого-либо направления больше 90°, стереографическая проекция будет расположена в нижней полусфере. Отсчет полярного расстояния, как отмечалось, будет производиться от центра проекций в направлении круга и обратно — от круга к центру. Такая проекция обозначается крестиком (рис. 40, точка b с координатами; φ = 205°, ρ=124°).

Задача 2 (обратная)

Определить сферические координаты направления, заданного стереографической проекцией.
Решение: 1. Вращением кальки совмещают заданную точку (стереографическую проекцию направления) с ближайшим диаметром сетки. От центра сетки по данному диаметру отсчитывают в направлении точки сферическую координату ρ .

Построение стереографической проекции направления А с координатами

Рис. 40. Построение стереографической проекции направления А с координатами: φ=165°, ρ = 68°

Вспомогательной черточкой на круге проекций отмечают в данном положении конец
диаметр, на котором лежит определяемая точка.
2 Возвращают кальку в исходное положение и по кругу проекции от нулевой риски до вспомогательной черточки отсчитывают
долготу φ . Таким образом, для точки с определены сферические координаты φ = 309°(рис 40).

Задача 3

Провести дугу большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений.
Допустим, что требуется провести дугу большого круга через стереографические проекции а и с направлений А (165°, 68е) и С (309°, 55°).
Решение: 1. Вращением кальки совмещают обе точки а и с с одним из вспомогательных меридианов сетки.
2. Простым карандашом обводят меридиональную дугу, соединяющую точки а и с, и возвращают кальку в исходное положение (рис. 41).
В том случае если точки будут располагаться на разных полусферах (например, а и b на рис. 40), вращением кальки приводят их на симметрично расположенные по отношению к центру сетки меридиональные дуги и обводят их простым карандашом: через точку а — сплошной линией, через точку b — пунктирной.
Найденная дуга большого круга может изображать гномостерео-графическую проекцию ребра, лежащего на пересечении двух граней (в этом случае заданные точки являются гномостереографическими проекциями этих граней), или стереографическую проекцию грани, если точки — стереографические проекции ребер, лежащих в плоскости данной грани.

Задача 4

Измерить угол между двумя направлениями, заданными их стереографическими проекциями (например, угол между направлениями А и С, см. рис. 41).
Решение: 1. Вращением кальки совмещают точки а и с с одной из меридиональных дуг сетки Вульфа (задача 3).
2. По данной дуге отсчитывают количество градусов, заключенных между точками а и с. Получают АС= 113°.
Измеренный угол может быть углом между нормалями к граням, если точки а и с представляют собой их гномостереографические проекции или углом между ребрами, если данные точки — стереографические проекции ребер.

Задача 5

Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (полюсом дуги является точка, равноотстоящая от всех точек дуги на 90°).
Предположим, что требуется найти полюс дуги ас. Решение: 1 Вращением кальки совмещают данную дугу с меридиональной дугой сетки Вульфа.
2. Отсчитывают от точки пересечения данной дуги с горизонтальным диаметром в направлении к центру сетки 90° по диаметру и отмечают найденную точку кружочком.

3. Возвращают кальку в исходное положение и надписывают точку значком Рас
Для найденного полюса можно найти сферические координаты:
φ=62°, ρ= 61 (см. задачу 2). Данный полюс может представлять собой стереографическую проекцию ребра кристалла, если дуга является гномостереографической проекцией этого ребра. Полюс может быть гномостереографической проекцией грани, если данная
дуга — стереографическая проекция этой грани.
Аналогичным способом находится полюс дуги cd. Его координаты: φ=194°, ρ=59°.

Задача 6. (обратная)

По заданному полюсу найти дугу большого круга, отвечающую его экватору.
Решение: 1. Вращением кальки приводят полюс на горизонтальный диаметр сетки.
2. От точки в направлении центра сетки отсчитывают 90° и обводят карандашом соответствующую меридиональную дугу. Последняя будет искомым экватором для заданного полюса.
Найденная экваториальная дуга может соответствовать стереографической проекции грани в том случае, если полюс является гномостереографической проекцией ее. Дуга может соответствовать гномостереографической проекции ребра, если полюс является его стереографической проекцией.

Рис. 41. К решению задач 3, 4, 5, 6, 7

Рис. 41. К решению задач 3, 4, 5, 6, 7

Задача 7

Измерить угол между двумя дугами больших кругов.
Допустим, что требуется определить угол между дугами ас и ad (см. рис. 41).
Решение: 1. Вращением кальки совмещают точку пересечения дуг а (вершину определяемого угла) с горизонтальным диаметром сетки.
2. Принимают данную вершину за полюс и проводят соответствующую ему экваториальную дугу (см. задачу 6).
3. Измеряют отрезок дуги между точками пересечения данной дуги с заданными дугами. Измеренная величина дуги составит величину искомого угла.
Измеренный угол при вершине а равен 65°, при вершине с —75°, при вершине d— 116°.
Измеренные углы представляют собой углы между соответствующими гранями при условии, что заданные дуги больших кругов — стереографические проекции этих граней.

6

5 7