Страницы 2 3 4 5 6 · · ·  21

ГЛАВА II ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

Закон постоянства углов
В природных условиях кристаллы не всегда развиваются в благоприятных условиях и имеют такие идеальные формы, как показано на приводимых рисунках.
Очень часто кристаллы имеют неполностью развившиеся формы, с недоразвитыми элементами ограничения (гранями, ребрами, углами). Нередко в кристаллах одного и того же минерала величина и форма граней могут значительно меняться (рис. 9—11). Часто в почвах и горных породах встречаются не целые кристаллы, а лишь их обломки. Однако, как показали измерения, углы между соответствующими гранями (и ребрами) кристаллов различных форм одного и того же минерала всегда остаются постоянными.

В этом заключается один из основных законов кристаллографии— закон постоянства углов.
Чем же объясняется такое постоянство углов. Это явление связано с тем, что все кристаллы одного и того же вещества имеют  одинаковую структуру, т. е. тождественны по своему внутреннему строению. Закон справедлив для одинаковых физико-химических условий, в которых находятся измеряемые кристаллы, т. е. при одинаковых температурах, давлении и др. Резкое изменение углов в кристаллах может наступать при полиморфном превращении вещества (см. гл. III).

Закон постоянства углов впервые упоминается рядом ученых: И. Кеплером, Э. Бартолином, X. Гюйгенсом, А. Левенгуком. Этот закон был выражен в общей форме в 1669 г. датским ученым Н. Стенопом. В 1749 г. Ломоносов впервые связал закон постоянства углов с внутренним строением селитры. И, наконец, в 1772 г. французским минералогом Ромэ де Лилем этот закон был сформулирован для всех кристаллов.

Кристаллы полевого шпата

Рис. 10 Кристаллы полевого шпата

Кристалл кварца

Рис. 11. Три кристалла кварца с различным развитием соответствующих граней

Определение углов с помощью гониометр

Рис. 12. 13. Измерение гранного угла кристалла с помощью прикладного гониометра.
Принципиальная схема отражательного гониометра

На рис. 10 показаны два кристалла полевого шпата различной формы. Углы между соответствующими гранями а и б двух кристаллов равны между собой (они обозначены буквой греческого алфавита а). На рис. 11 угол между гранями т и r разных по внешней форме кристаллов кварца равен 38° 13′. Из сказанного ясно, насколько велико значение измерения двугранных углов кристаллов для точной диагностики минерала.

Измерение гранных углов кристаллов. Гониометры

Для измерения двугранных углов кристаллов пользуются специальными приборами, называемыми гониометрами (греч. «гонос» — угол). Наиболее простым гониометром, употребляемым для приблизительных измерений, является так называемый прикладной гониометр, или гониометр Каранжо (рис. 12). Для более точных измерений используют отражательный гониометр (рис.13).

Теодолитный гониометр

Рис. 14. Теодолитный гониометр Е. С. Федоров

Измерение углов при помощи отражательного гониометра производится следующим образом: луч света, отражаясь от грани кристалла, улавливается глазом наблюдателя; поворачивая кристалл, фиксируют отражение луча света от второй грани на шкале круга гониометра, отсчитывают угол между двумя отблесками, а следовательно, и между двумя гранями кристалла.
Измерение двугранного угла будет верным, если грани кристалла, от которых происходит отражение луча света, параллельны оси вращения гониометра. Чтобы это условие всегда соблюдалось, измерение производят на двукружном или теодолитном гониометре, имеющем два круга вращения: кристалл может поворачиваться одновременно вокруг двух осей — горизонтальной и вертикальной.

Теодолитный гониометр изобретен в конце XIX в. русским кристаллографом Федоровым и независимо от него немецким ученым В. Гольдшмидтом. Общий вид двухружного гониометра показан на рис. 14.

Кристаллохимический анализ Е. С. Федорова

Метод гониометрического определения кристаллического вещества и в известной степени его внутреннего строения по внешним формам кристаллов позволили Федорову ввести в практику диагностики минералов кристаллохими ч е с к и й анализ.
Открытие закона постоянства углов позволило измерением гранных углов кристаллов и сравнением данных измерения с имеющимися табличными величинами устанавливать принадлежность исследуемого кристалла к определенному веществу. Федоров провел большую работу по систематизации огромного литературного материала по измерению кристаллов. Использовав его, а также собственные измерения кристаллов, Федоров написал монографию «Царство кристаллов» (1920).

Углы кристаллов

Рис. 15. Схема соотношения углов в кристалле при его измерении

Ученики и последователи Федорова — советский кристаллограф А. К. Болдырев, английский ученый Т. Баркер (1881—1931) значительно упростили методы определения кристаллов. В настоящее «время кристаллохимический анализ сводится к измерению на гониометре необходимых углов и к определению вещества по справочным таблицам .
При гониометрическом измерении кристаллов непосредственному определению подлежит внутренний угол между гранями (рис. 15, ∠β). Однако в сводных таблицах с измеренными углами различных веществ всегда приводится угол, составленный нормалями к соответствующим граням (рис. 15, ∠α ). Поэтому после измерения следует произвести несложные вычисления по формуле α= 180°—β (α=α1, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и по справочнику определить название минерала.

Симметрия в кристаллах

О существовании симметрии в природе мы узнаем с раннего детства. Крылья бабочки и стрекозы, лепестки и листья различных цветов и растений, снежинки и птицы убеждают нас в том, что в природе существует симметрия.
Симметричными называются тела, состоящие из одинаковых, симметричных частей, которые могут совмещаться. Так, если бабочка сложит крылья, они у нее полностью совместятся. Плоскость, которая разделит бабочку на две части, будет плоскостью симметрии. Если на место этой плоскости поставить зеркало, то в нем мы увидим симметричное отражение другого крыла бабочки. Так и плоскость симметрии обладает свойством зеркальности — по обе стороны этой плоскости мы видим симметричные, зеркально-равные половинки тела.
В результате изучения кристаллических форм минералов выяснено, что и в неживой природе, в мире кристаллов, существует симметрия. В отличие от симметрии в живой природе она называется кристаллической симметрией.
Кристаллической симметрией называется правильная повторяемость элементов ограничения (ребер, граней, углов) и других свойств кристаллов по определенным направлениям.
Наиболее отчетливо симметрия кристаллов обнаруживается в их геометрической форме. Закономерное повторение геометрических форм можно заметить, если: 1) рассечь кристалл плоскостью; 2) вращать его вокруг определенной оси; 3) сопоставить расположение элементов ограничения кристалла относительно точки, лежащей внутри его.

Плоскость симметрии

Рассечем кристалл каменной соли на две половины (рис. 16). Проведенная плоскость разделила кристалл на симметричные части. Такая плоскость называется плоскостью симметрии.

Плоскостью симметрии кристаллического многогранника называется плоскость, по обе стороны которой располагаются одинаковые элементы ограничения и повторяются одинаковые свойства кристалла.
Плоскость симметрии обладает свойством зеркальности: каждая из частей кристалла, рассеченного плоскостью симметрии, совмещается с другой, т. е. является как бы ее зеркальным изображением. В различных кристаллах можно провести разное количество плоскостей симметрии. Например, в кубе имеется девять плоскостей симметрии (рис. 17), в гексагональной или шестигранной призме — семь плоскостей симметрии — три плоскости пройдут через противоположные ребра (рис. 18, плоскости а), три плоскости через середины противоположных граней (параллельных продольной оси многогранника —на рис. 18, плоскости b) и одна плоскость —перпендикулярно ей (рис 18 плос

каменная соль

Рис. 16. Плоскость симметрии (Р) в кристалле каменной соли

Плоскость симметрии обозначается заглавной буквой латинского алфавита Р, а коэффициент, стоящий перед ней, показывает количество плоскостей симметрии в многограннике. Таким образом, для куба можно записать 9Р, т. е. девять плоскостей симметрии, а для гексагональной призмы — 7 Р.

Ось симметрии

В кристаллических многогранниках можно найти оси, при вращении вокруг которых кристалл будет совмещаться со своим первоначальным положением при повороте на определенный угол. Такие оси называются осями симметрии.
Ось симметрии кристаллического многогранника — это линия, при вращении вокруг которой правильно повторяются одинаковые элементы ограничения и другие свойства кристалла.
Оси симметрии обозначаются заглавной латинской буквой L. При вращении кристалла вокруг оси симметрии элементы ограничения и другие свойства кристалла будут повторяться определенное количество раз.

Плоскость симметрии в кубе

Рис. 17 Плоскости симметрии в кубе

Если при повороте кристалла на 360° многогранник совмещается со своим исходным положением дважды, имеют дело с осью симметрии второго порядка, при четырех- и шестикратном совмещениях — соответственно с осями четвертого и шестого порядков. Оси симметрии обозначаются: L2— ось симметрии второго порядка; L3 — ось симметрии третьего порядка; L4 — ось симметрии четвертого порядка; L6 — ось симметрии шестого порядка.

Порядком оси называется количество совмещений кристалла с первоначальным положением при повороте на 360°.

Плоскости симметрии в гексагональной призме

Рис. 18. Плоскости симметрии в гексагональной призме (слева) и схема расположения осей симметрии (в плане,
справа)

В связи с однородностью кристаллического строения и благодаря закономерностям в распределении частиц внутри кристаллов, в кристаллографии доказывается возможность существования только вышеперечисленных

осей симметрии. Ось симметрии первого порядка в расчет не принимается, так как она совпадает с любым направлением каждой фигуры. В кристаллическом многограннике может быть несколько осей симметрии различных порядков. Коэффициент, стоящий перед символом оси симметрии, показывает количество осей симметрии того или иного порядка. Так, b кубе три оси симметрии четвертого порядка 3L4 (через середины противоположных граней); четыре оси третьего порядка — 4L3 (проводятся через противоположные вершины трехгранных углов) и шесть осей второго порядка 6L2 (через середины противоположных ребер) (рис 19).

Ось симметрии в кубе

Рис. 19. Оси симметрии в кубе

В гексагональной призме можно провести одну ось шестого порядка и 6 осей второго порядка (рис. 18 и 20). В кристаллах наряду с обычными осями симметрии, охарактеризованными ранее, выделяют так называемые инверсионные оси.
Инверсионной осью кристалла называется линия, при вращении вокруг которой на некоторый определенный угол и последующим отражением в центральной точке многогранника (как в центре симметрии) совмещаются одинаковые элементы ограничения .

Оси симметрии шестого и второго порядков

Рис. 20 Оси симметрии шестого и второго порядков (L66L2) и плоскости симметрия (7Р) в гексагональной призме

Инверсионная ось обозначается символом На моделях кристаллов, где обычно приходится определять инверсионные оси, центр симметрии отсутствует. Доказана возможность существования инверсионных осей следующих порядков: первого Li1 , второго Li2 , третьего
Li3 , четвертого Li4, шестого Li6. Практически приходится иметь дело лишь с инверсионными осями четвертого и шестого порядков (рис.21).
Иногда инверсионные оси обозначаются цифрой, стоящей справа внизу от символа оси. Так, инверсионная ось второго порядка обозначается символом третьего — L3, четвертого L4 шестого L6.
Инверсионная ось представляет собой как бы совокупность простой оси симметрии и центра инверсии (симметрии). На приводимой схеме (рис. 21) показаны две инверсионные оси Li и Li4. Разберем оба случая нахождения данных осей в моделях. В тригональной призме (рис. 21,I) прямая LL — ось третьего порядка L3. В то же время она одновременно является инверсионной осью шестого порядка. Так, при повороте на 60° вокруг оси любых частей многогранника и последующего отражения их в центральной точке фигура совмещается сама с собой. Иными словами, поворот ребра АВ этой призмы на 60° вокруг LL приводит его в положение А1В1, отражение ребра A1B1 через центр совмещает его с DF.
В тетрагональном тетраэдре (рис. 21,II) все грани состоят из четырех совершенно одинаковых равнобедренных треугольников. Ось LL — ось второго порядка L2 При повороте вокруг нее на 180° многогранник совмещается с первоначальным положением, а грань АВС переходит на место АВD. В то же время ось L2 является и инверсионной осью четвёртого порядка. Если повернуть грань АВС на 90° вокруг оси LL, то она займёт положение А1В1С1 . При отражении А1В1С1 в центральной точке фигуры грань совместится с положением BCD ( точка А1 совпадает с С, В1 — с D и С1 — с В). Проделав такую же операцию со всеми частями тетраэдра, заметим, что он совмещается сам с собой. При повороте тетраэдра на 360° получим четыре таких совмещения. Следовательно, LL — инверсионная ось четвертого порядка.

Центр симметрии

В кристаллических многогранниках, кроме плоскостей и осей симметрии, может быть также и центр симметрии (инверсии).
Центром симметрии (инверсии) кристалли-ческого многогранника называется точка, лежащая внутри кристал-ла, в диаметрально противоположных направлениях от которой располагаются одинаковые элементы ограничения и другие свойства многогранника.
Центр симметрии обозначается буквой С латинского алфавита. При наличии центра симметрии в кристалле каждой грани отвечает другая грань, равная и параллельная (обратно параллельная) первой. В кристалла» не может быть более одного центра симметрии. В кристаллах любая линия, проходящая через центр симметрии, делится пополам.
Центр симметрии легко найти в кубе, октаэдре в гексагональной призме, так как он находится в этих много-гранниках в точке пересечения осей и плоскостей симметрии.
Разобранные элементы, встречаемые в кристаллических многогранниках, плоскости, оси, центр симметрии — называются элементами симметрии.

Инверсионные оси

Рис. 21. Инверсионные оси шестого (I) и четвертого (II) порядков

Таблица 1
32 вида симметрии кристаллов
Виды симметрии
Сингонии примитивный центральный планальный аксиальный планаксиальный инверсионно-примитивный инверсионно-планальный
Триклинная
1
       _
2
         С
Моноклинная
3
       р
4
      L2
5
        L2PC
Ромбическая
6
      L22P
7
       3L2
8
3L23PC
Тригональная
9
     L3
10
      L3C
11
    L33P
12
 L33L2
13
L33L23PC
Тетрагональная
14
L4
15
L4PC
16
L44P
17
L44P2
18
L44L25PC
19**
Li4=L2
20
Li4(=L2)2L2x2P
Гексагональная
21
L6
22
L6PC
23
L66P
24
L66L2
25
L66L27PC
26
Li6=L3P
27
Li63L23P=L33L24P
Кубическая
28
4L33L2
 

29
4L33L23PC
 

30
 
4L33L2x(3Li4)6P
 

31
3L44L36L2
 

32
3L44L36L2x9PC
   

Виды симметрии

В кристаллах элементы симметрии находятся во взаимосвязи. Благодаря зависимости одних элементов симметрии от других, взаимные сочетания их весьма ограничены. Установлено, что возможны только 32 комбинации! различных группировок, или 32 кристаллографических класса, или вида симметрии (табл. 1). Данные 32 вида симметрии сначала были выведены чисто теоретически в 1831 г. И. Геоселем, а затем независимо от него русским акад. А. В. Гадолиным в 1867 г. Позднее этот вывод был подтвержден и на кристаллах.
В каждый вид симметрии объединяются кристаллы на основании совокупности элементов симметрии или наличия какого-либо одного определенного элемента и отсутствия других элементов симметрии.
Иными словами, вид симметрии кристалла — это полная совокупность его элементов симметрии.
Виды симметрии, в которых имеются только главные оси, названы примитивными. Если в видах симметрии присутствует и центр симметрии, они называются центральными. При наличии плоскости говорят о планальном виде симметрии (греч. «планум» — плоскость), если имеются только оси— аксиальный вид симметрии (греч. «аксон» ось). Максимальное количество возможных осей и плоскостей дает наименование планаксиального вида симметрии. В случае присутствия инверсионных осей говорят об инверсионно-примитивном или инверсионно-планальном видах симметрии.
При определении кристаллов или их моделей следует иметь в виду, что найденная комбинация элементов симметрии должна непременно соответствовать определенному виду симметрии из приводимых 32 классов (табл. 1).

4

3 5